Enunciado

A luminária de 250   N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A . Determine o ângulo de orientação θ de A C de modo que a tensão normal média na haste A C seja duas vezes a tensão normal média na haste A D . Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura.

Passo 1

Fala aí galerinha do responde aí, vamos garantir aquele notão em Resmat?

Sabemos que a tensão é dada pela força dividida pela área, ou seja, temos que calcular a força em cada haste e dividir pelas respectivas áreas. O DCL fica:

Primeiramente, vamos decompor as forças e aplicar as equações de equilíbrio:

∑ F x = 0

F A c cos ⁡ θ - F A D cos ⁡ 45 = 0

∑ F y = 0

F A c s e n θ + F A D s e n 45 - W = 0

O problema nos dá a seguinte condição:

σ A C = 2 σ A D

Como a tensão média é dada pela divisão entre a força e a área da seção reta, teremos:

F A C A A C = 2 F A D A A D

Colocando uma força em evidência...

F A C = 2 × A A C A A D F A D

Beleza, agora é só calcular a área desses cabos...

Onde:

A A D = π d 2 4 = π 7,5 2 4 = 44,17   m m ²

A A C = π d 2 4 = π 6 2 4 = 28,27   m m ²

Repara que eu não precisei alterar a unidade para metros, pois como na equação vai ficar uma área dividida pela outra, a unidade vai acabar cancelando, por isso, não precisamos converter :)

Assim:

F A C = 2 × 28,27 44,17 F A D

F A C = 1,28 F A D

Temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas. Sabemos que W   é o peso da luminária:

F A c cos ⁡ θ - F A D cos ⁡ 45 = 0   ( 1 )

F A c s e n θ + F A D s e n 45 - W = 0   ( 2 )

F A C = 1,28 F A D   ( 3 )

Passo 2

Sistema montado, agora é só resolver. Uma dica aqui é usar o método da substituição, pois a gente tá trabalhando com senos e cossenos e fazer por escalonamento pode ser bem mais trabalhoso.

Substituindo a eq. 3, na eq. 1:

1,28 F A D cos ⁡ θ = F A D cos ⁡ 45

cos ⁡ θ = cos ⁡ 45 1,28

θ = a r c c o s ⁡ ( 0,552 )

O que nos dá:

θ = 56,49 °

Substituindo a equação 3, na equação 2 e usando o valor de θ :

1,28 F A D s e n 56,49 + F A D sen ⁡ 45 = 250 N

1,774 F A D = 250 N

F A D = 250 1,774 = 140,92 N

E por último:

F A C = 1,28 F A D   ( 3 )

A gente substitui:

F A C = 1,28 × 140,92 = 180,38 N

Passo 3

Agora, vamos calcular a última área:

A A B = π d 2 4 = 63,61   m m ²

Lembrando que as outras áreas são:

A A D = 44,17   m m ²

A A C = 28,27   m m ²

Por fim, basta fazer a força sobre a área:

σ A B = W A A B   = 250 63,61 = 3,93 M P a

σ A D = F A D A A D = 140,92 44,17 = 3,19 M P a

σ A C = F A C A A C   = 180,38 28,27 = 6,38 M P a

Resposta

θ = 56,47 °

σ A B = 3,93 M P a

σ A D = 3,19 M P a

σ A C = 6,38 M P a

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