Enunciado

O manipulador deuma esmeriladora industrial em miniatura pesa 2,7 N e seu centro de gravidade está sobre o eixo y . O cabeçote do manipulador fica recuado no plano x z de modo que a linha BC forma um ângulo de 25 ° com a direção x . Mostre que o peso do manipulador e os dois binários M 1 e M 2 podem ser substituídos por uma força única equivalente. Além disso, considerando que M 1 = 0,076   N . m e M 2 = 0,073   N . m , determine ( a ) a intensidade e a direção da força equivalente, ( b ) o ponto em que sua linha de ação intercepta o plano x z .

Passo 1

Vamos começar o exercício desenhando o sistema equivalente na origem:

Dessa forma, o momento resultante será:

M → = M → 1 + M → 2 = 0,076 k → + - 0,073 cos ⁡ 25 ° i → - 0,073 sen ⁡ 25 ° k →

M → = - 0,066 i → + 0,0451 k →

Percebemos que o momento resultante não possui componente na direção j → , e como a única força no sistema é o peso, que está agindo na direção - j → , então esse sistema pode ser substituído por uma força de mesma magnitude e sentido que o peso, dessa forma:

F → = W → → F → = - 2,7 j →

Passo 2

Agora, para encontrar a localização do ponto P que intercepta o plano x z , precisamos adotar um ponto no plano:

P = x i → + 0 j → + z k →

Dessa forma, o vetor que liga esse ponto à origem é dado por:

r → P / O = x i → + z k →

Sabemos que o momento resultante pode ser escrito através da equação:

M → = r → P / O × F →

Substituindo os valores conhecidos, temos:

- 0,066 i → + 0,0451 k → = i → j → k → x 0 z 0 - 2,7 0

- 0,066 i → - 0,0451 k → = 0 0 - z - 2,7 i → - x 0 - z 0 j → + x - 2,7 - 0 0 k →

- 0,066 i → + 0,0451 k → = 2,7 z i → - 2,7 x k →

Passo 3

Agora igualando as componentes i → e k → obtidas na última equação do passo 2, temos:

- 0,066 = 2,7 z → z = - 0,024   m

0,0451 = - 2,7 x → x = - 0,017   m

Resposta

F → = - 2,7 j →

z = - 0,024   m ;   x = - 0,017   m

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