Enunciado

Os eixos de aço estão interligados por um filete de solda como mostra a figura. Determine a tensão de cisalhamento média na solda ao longo da seção a - a se o torque aplicado aos eixos for T = 60   Nm . Observação: a seção crítica onde a solda falha encontra-se ao longo da seção a - a .

Passo 1

Um torque T = 60   Nm é aplicado a um conjunto formado por dois eixos soldados.

Características do conjunto:

  • Raio do eixo menor: r = 25   mm . (Cilindro)
  • Largura e altura da solda: l = 12   mm .
  • Inclinação da solda: 45 ° .

Queremos saber a tensão média de cisalhamento τ que atua na na solda segundo a direção de 45 ° (seção a - a )

Como queremos a tensão somente onde em uma seção específica que não é concêntrica com os eixos (está inclinada!), só temos a fórmula original da tensão para nos ajudar:

τ = F A

A força F aqui é alguma cortante que precisa balancear o torque T . E a área vem do corte feito na solda. Vamos achar esses caras.

Primeiro, precisamos entender melhor o que está acontecendo nessa confusão toda.

Passo 2

O torque T promove uma torção do eixo menor ao redor do eixo dele (“Eixo” na figura). A solda mesmo só começa a uma distância r = 25   mm desse eixo.

O corte que queremos passa na solda segundo a linha tracejada. Se você olhar na perspectiva da figura, o corte a - a faz uma reta de comprimento s na solda (linha tracejada vermelha).

Beleza, e daí? O que acontece é que a questão explica meio mal... A parte crítica da solda é a 45 ° com a horizontal, mas você tem que pensar isso para solda inteira! Ou seja, pegue essa linha vermelha s e gire ao redor do eixo!

A segunda figura deixa mais claro qual é a área em que a solda tem risco de falhar primeiro.

O vermelho dessa segunda figura é o que chamamos de uma superfície de revolução: porque a gente pegou aquele tracejado s da primeira figura e giramos ao redor do eixo. Formou um tronco de cone. É nessa área aí que a tensão vai dar problema!

Para acharmos τ , precisamos dessa área vermelha!

Agora que organizamos o pensamento, vamos ver como fazer a conta pra área A .

Passo 3

Então, existe uma fórmulinha pronta para a área superficial de um tronco de cone... mas ninguém sabe isso decorado... sério. Vale muito mais a pena você aprender uma parada nova pro seu arsenal: Primeiro Teorema de Pappus.

Funciona assim. Aquela reta de comprimento s girou um ângulo de 2 π   rad para gerar a figura a superfície vermelha. A área dessa superfície é

A = 2 π   x -   s

O x - é a distância do centroide da reta até o eixo. Calma que isso mole! A ideia é sempre essa: área é de uma superfície de revolução é o ângulo que girou vezes a posição do centroide vezes o tamanho da curva.

Beleza, o s é fácil de achar. Na primeira figura do Passo 2 , use o seno do ângulo

sin ⁡ 45 ° = s l

s = l ⋅ sin ⁡ 45 ° = 6 2   mm

Agora a distância x - do centroide. O centroide é o centro geométrico da curva: para uma reta, é só o ponto no meio dele. Olha a figura seguinte.

Como estamos tratando de 45 ° de inclinação, x - vai ser a média dos outros valores, porque o centroide está bem no meio:

x - = r + l / 2 + r 2

x - = 28   mm

Aaah, finalmente vamos calcular essa área esquisita!

A = 2 π   x -   s       →         A = 1492,8087   mm 2

Beleza, agora precisamos só da força para achar a tensão τ .

Passo 4

Achar a força F é mais tranquilo. O que está acontecendo é que a superfície vermelha na figura do Passo 2 está girando. O resto do material resiste a esse giro com forças cortantes em cima da superfície!

Essas forças estão distribuídas ao longo da área. Mas como queremos calcular a tensão média, só estamos interessados em achar a força concentrada equivalente.

Essa força equivalente F atua no centroide da reta de comprimento s (então a uma distância x - = 28   mm do eixo) e tem que garantir o equilíbrio! Tem que equilibrar o efeito do torque T = 60   Nm . Então:

∑ M = 0       →         F ⋅ x - = T

F = 2,143   kN

Passo 5

Boa, achamos todos os ingredientes. Só jogar na fórmula!

τ = F A       →         τ = 1,436   MPa

Resposta

Tensão média cisalhante:   τ = 1,436   MPa .

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