Enunciado

Usando os princípios de conservação da energia e da quantidade de movimento angular, resolva o item a do Problema Resolvido 12.8.

Passo 1

Oi, gente! Tudo joinha?

Esse problema deve ser resolvido como base no Problema Resolvido 12.8, porém, utilizando os princípios de conservação da energia e da quantidade de movimento angular. Então, vamos lá!

O satélite é lançado paralelamente à superfície da terra e o enunciado fornece os dados:

v 0 = 36900   k m / h = 10,25 × 10 3   m / s

A l t i t u d e   d o   l a n ç a m e n t o = 500   k m

Sabemos que o raio da Terra é:

R = 6370   k m

Então, calculando o raio de lançamento, temos:

r 0 = 6370 + 500 = 6870   k m

r 0 = 6,87 × 10 6   m

Vamos aplicar agora a conservação do momento angular:

Observe que a posição inicial é no ponto A e a posição onde o raio é máximo no ponto A ' .

r 0 m v 0 = r 1 m v A '

v A ' = r 0 v 0 r 1 = 6,87 × 10 6 ⋅ 10,25 × 10 3 r 1

v A ' = 70,4175 × 10 9 r 1

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

T A = m 10,25 × 10 3 2 2 = ( 52,5312 × 10 6 ) m

Cuidado para não confundir a massa com a unidade metros! Fique atento!

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M m r 0

No caso de um corpo de massa m sujeito à atração gravitacional da Terra, o produto G M , pode ser expresso de acordo a Eq. (12.29),

G M T e r r a = g R 2

em que M T e r r a e R são, respectivamente, a massa e o raio da Terra.

Sabemos que,

g = 9,81   m / s 2

e

R = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Então, substituindo na Eq. (12.29), temos,

G M T e r r a = 9,81 6370 × 10 3 2

G M T e r r a = 398 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - G M T e r r a m r A

V A = - m 398 × 10 12 6,87 × 10 6

V A = - 57,93 × 10 6 m

Ponto A’:

T A ' = 1 2 m v A ' 2

V A = - G M m r 1 = - m 398 × 10 12 r 1

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T A ' + V A '

52,5312 × 10 6 m - 57,933 × 10 6 m = 1 2 m v A ' 2 - m 398 × 10 12 r 1

- 5,4018 × 10 6 = v A ' 2 2 - 398 × 10 12 r 1

Substituindo v A ' pela expressão obtida anteriormente:

- 5,4018 × 10 6 = 70,4175 × 10 9 2 2 r 1 2 - 398 × 10 12 r 1

- 5,4018 × 10 6 = 1 r 1 2 [ 2,4793 × 10 21 - ( 398 × 10 12 )   r 1 ]

- 5,4018 × 10 6 r 1 2 + ( 398 × 10 12 )   r 1 - 2,4793 × 10 21 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, chegamos ao resultado para r m á x :

r 1 m á x = 66,8 × 10 6   m = 66800   k m

O problema solicita a altitude máxima, portanto:

A l t i t u d e   m á x i m a = r m á x - R

A l t i t u d e   m á x i m a = 66800 - 6370 = 60430   k m

O resultado do exemplo e esse aqui obtido não deram exatamente iguais devido as aproximações feitas durante os cálculos.

Resposta

A l t i t u d e   m á x i m a = 60430   k m

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