Enunciado

76. O membro é sustentado por um pino em A e um cabo B C . Se a carga em D é de 1,5   k N , determine as componentes x ,   y ,   z da reação no pino A e a tração no cabo B C .

Passo 1

Fala, querido! Queremos as reações no pino e no cabo.

Primeiro temos que avaliar que tipos de conexões temos nessa situação, nesse caso é um cabo e um pino, segundo a tabela 5.2 do capítulo 5 , seção 5.5 , esse tipo de conexão por cabo só exerce uma força ou tração na direção do cabo, o pino exerce reação nas três direções dos eixos coordenados e reação ao momento em dois eixos, no nosso caso, esses eixos serão y e z .

Abaixo temos um diagrama de corpo livre que vai nos ajudar a ver o que está acontecendo.

Agora só temos que aplicar as equações de equilíbrio para achar as forças que queremos.

O macete é sempre começar com as equações que te oferecem menos incógnitas.

Passo 2

Para determinar a tração no cabo nessa situação, será melhor expressá-la na forma vetorial, nessa forma teremos as componentes da tração do cabo, podendo assim usar as equações de equilíbrio para cada direção com a componente adequada da tração.

Para expressar essa força de tração, precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção e sentido que a força de tração. Percebe que podemos usar um vetor que sai de B e vai para C .

Para achar um vetor nessa direção, podemos fazer ponto final menos inicial

r → = C - B

r → = - 0.3 ,   0 ,   0.6 - - 1.2 ,   1.8 ,   0 = 0.9 ,   - 1.8 ,   0.6

Aí o vetor unitário pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de B C é:

u → = 0,9 i - 1,8 j + 0,6 k 4,41

u → = { 0,428 i - 0,857 j + 0,285 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração da corda B D . O que a gente faz é multiplicar o módulo da força pelo vetor unitário na direção da força.

T B C → = T B C u →

= 0,428 T B C i - 0,857 T B C j + 0,285 T B C k

Daí tiramos

T B C x = 0,428 T B C

T B C y = - 0,857 T B C

T B C z = 0,285 T B C

Passo 3

Vamos analisar primeiro a equação de equilíbrio referente ao momento em relação ao eixo x , que é o que oferece somente uma incógnita. Vamos usar o sentido anti-horário do eixo x como positivo (segundo a regra da mão direita).

∑ M x = 0

- 1,5 1,8 + T B C z ( 1,8 ) = 0

- 1,5 1,8 + 0,285 T B C ( 1,8 ) = 0

⇒ 0,285 T B C ( 1,8 ) = 2,7

⇒ T B C = 5,2 6   k N

Percebe que aqui somente a componente z da tensão gera momento em relação a x . Isso porque a componente em x está dentro do eixo de rotação e a componente y tem sua linha de ação passando por x .

Passo 4

Agora que temos o valor de T B C vamos avaliar a equação de equilíbrio do momento em relação aos outros eixos para acharmos os momentos de reação exercidos pelo pino. Vamos usar o sentido anti-horário do eixo y como positivo.

∑ M y = 0

M A y - 1,5 0,6 + T B C z ( 1,2 ) = 0

M A y - 1,5   0,6 + 0,285   .   T B C   ( 1,2 ) = 0

⇒ M A y - 0,9 + 1 , 767 = 0

⇒ M A y = - 0,867   k N ⋅ m

Como T B C x tem sua linha de ação passando por y e T B C y é paralela a y , elas não geram momento aqui.

Agora olhando para o eixo z . Vamos usar o sentido anti-horário do eixo 𝑧 como positivo.

∑ M z = 0

M A z - 0,285   .   T B C   1,8 + 0,857 .     T B C ( 1,2 ) = 0

⇒ M A z - 2,7 + 5 , 41 = 0

⇒ M A z = - 2 , 7   k N ⋅ m

Passo 5

Agora vamos analisar as equações de equilíbrio referente a força, para cada direção.

∑ F x = 0

A x + 0,428   .   T B C = 0

⇒ A x = - 2 , 25   k N

Para y :

∑ F y = 0

A y - 0,857   .   T B C = 0

⇒ A y = 4 , 51   k N

Por fim, para z :

∑ F z = 0

A z - 1,5 + 0,285   .   T B C = 0

⇒ A z = 0 , 0009   k N

Resposta

A x = - 2 , 25   k N

A y = 4,5 1   k N

A z = 0 , 0009   k N

M A y = - 0,867   k N ⋅ m

M A z = - 2,7   k N ⋅ m

T B C = 5 , 2 6   k N

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