Enunciado

A mola de 350   m m é comprimida para um comprimento de 200   m m , quando é liberada a partir do repouso e acelera o bloco deslizante A . A aceleração tem um valor inicial de 130   m / s ² e em seguida diminui linearmente com o movimento x do bloco, chegando a zero quando a mola recupera o seu comprimento original de 350   m m . Calcule o tempo t para o bloco ir até (a) 75   m m e (b) 150   m m .

Passo 1

A aceleração do bloco vai seguir a seguinte expressão:

a = 130 - k x

E como a = 0 quando x = 150   m m (o deslocamenteo a partir do ponto onde a mola é completamente achatada):

0 = 130 - k ( 0.15 )

k = 130 0.15 ≅ 866   s - 2

Então podemos escrever o seguinte:

a = 130 - 866 x

a ≅ 130 ( 1 - 6,66 x )

Passo 2

Ok, como vamos aproveitar isso? Vamos lembrar da seguinte relação:

a = d v d t = d v d x   d x d t

a = v   d v d x

a   d x = v   d v

E integrando:

∫ 0 x a   d x = ∫ 0 v v   d v

130 ∫ 0 x ( 1 - 6,66 x )   d x = ∫ 0 v v   d v

130 x - 3,33 x 2 = v 2 2

v 2 = 260 ( x - 3,33 x 2 )

Passo 3

Precisamos transformar isso em uma função do tempo. Vamos lembrar da definição de velocidade:

v = d x d t

d t = d x v

d t = d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

∫ 0 t d t = ∫ 0 x d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

t = ∫ 0 x d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

Essa é uma integral do tipo:

∫ d x a x 2 + b x + c

Bom pessoal, essa não é uma integral simples de resolver, a melhor opção é consultar uma tabela ou resolver numericamente.

Resolvendo numericamente, para x = 0,075   m , temos:

t = 0,034   s

E para x = 0,150   m , temos:

t = 0,050   s

Resposta

(a) t = 0,034   s

(b) t = 0,050   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta com uma aceleração de a = 12 t - 3 t 1 / 2m / s 2 , onde t é dado em segundos. Determine a velocidade e a posição da partícula como uma função
Um elevador desce a partir do repouso com uma aceleração de m/s2 até alcançar uma velocidade de 4,5m / s . Determine o tempo exigido e a distância percorrida.
Um carro tem uma velocidade inicial de 25 m/s e uma desaceleração constante de 3m / s 2 . Determine a velocidade do carro quando t = 4s . Qual é o deslocamento do carro durante o intervalo de tempo de
O carro A parte do repouso em t = 0 e move-se ao longo de uma estrada reta com uma aceleração constante de 2m / s 2 até alcançar uma velocidade de 27m / s . Depois disso, ele mantém essa velocidade. Q
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade v = 12 - 3 t 2m / s , onde t é dado em segundos. Quando t = 1s , a partícula está localizada 10m à esquerda da origem. Determine a a