Enunciado

Uma partícula viajando em uma linha reta encontra uma força que a retarda e provoca a redução de sua velocidade segundo v = 20 e - t / 10   m / s , onde t é o tempo em segundos durante o qual a força age. Determine a aceleração a da partícula quando t = 10   s e encontre a distância correspondente s que a partícula se deslocou durante o intervalo de 10 segundos. Faça o gráfico de v em função de t para os primeiros 10 segundos.

Passo 1

O enunciado já deu a função da velocidade:

v t = 20 e - t / 10

E o primeiro objetivo é determinar a aceleração da partícula em t = 10 s . Precisamos lembrar da seguinte relação:

a t = d d t v ( t )

a t = - 20 10 e - t 10 = - 2 e - t 10

E no instante t = 10 s vamos ficar com o seguinte resultado:

a 10 = - 2 e - 1 = - 2 e ≅ - 0,736   m / s 2

Passo 2

O próximo objetivo é encontrar a distância que a partícula percorre nesses primeiros 10 segundos. Vamos lembrar do seguinte:

v = d s d t

d s = v   d t

Substituindo com a função da velocidade:

d s = ( 20 e - t 10 ) d t

E Integrando os dois lados:

∫ s 0 s d s = ∫ 0 10 20 e - t 10 d t

Δ s = - 2 e - t 10 10 0

Δ s = - 2 e - 1 - ( - 2 e 0 )

Δ s = - 2 e + 2 ≅ - 0,736 + 2 = 1,264   m

Passo 3

Agora precisamos esboçar um gráfico da velocidade em função do tempo para esses primeiros 10 segundos.

v t = 20 e - t / 10

Para resolver a questão numericamente, deve ser suficiente calcular a função em mais ou menos cinco pontos:

E posicionando esses pontos no plano, o resultado deve ser algo parecido com isso:

O essencial aqui é notar que o gráfico não se aproxima muito do eixo x , e que tem um decaimento quase linear, porque a divisão por dez na exponencial deixa o decaimento mais lento.

Resposta

A aceleração da partícula é a = - 0,736   m / s 2 e o deslocamento é s = 1,264   m .

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