Enunciado

Mostre que o torsor geralmente pode ser substituído por duas forças escolhidas de tal modo que uma força passa por um dado ponto enquanto a outra fica em um dado plano.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos expressar a resultante R e o momento M como:

R = R x i + R y j + R z k

M = M x i + M y j + M z k

Passo 2

Agora, vamos expressar as forças A e B :

A = A x i + A y j + A z k

Vamos considerar B no plano x z , portanto a componente em y é nula:

B = B x i + B z k

Vamos calcular as forças pra o sistema equivalente:

∑ F x = 0

A x + B x = R x

∑ F y = 0

A y = R y

E:

∑ F z = 0

A z + B z = R z

Passo 3

Vamos calcular o momento na direção x :

∑ M x = 0

y A z - z A y = M x

Agora em y :

∑ M y = 0

z A x - x A z - b B z = M y

Agora em z :

∑ M z = 0

x A y - y A x = M z

Agora é só substituir as equações encontradas para resolver o sistema. Como A y = R y , temos que:

x R y - y A x = M z

A x = 1 y x R y - M z

Temos também que B x = R x - A x , logo:

B x = R x - 1 y x R y - M z

Podemos encontrar também que:

y A z - z R y = M x

A z = 1 y z R y + M z

Como B z = R z - A z , temos:

B z = R z - 1 y z R y + M z

Passo 4

Pronto... Agora vamos analisar b que é o que importa:

z A x - x A z - b B z = M y

b = z A x - x A z - M y   B z

Substituindo os valores, temos:

b = z 1 y x R y - M z - x 1 y z R y + M z - M y   R z - 1 y z R y + M z

Desenvolvendo, encontraremos:

b = x M x + y M y + z M z M x - y R z - z R y

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →