Enunciado

O instrumento sísmico está montado sobre uma estrutura que sofre uma vibração vertical com uma frequência de 5   Hz e uma amplitude dupla de 18   mm . O elemento sensor possui uma massa m = 2   kg , e a rigidez da mola é k = 1,5   kN/m . O movimento da massa em relação à base do instrumento é gravado em um tambor rotativo e mostra uma amplitude dupla de 24   mm durante a condição de regime permanente. Calcule a constante de amortecimento viscoso c .

Passo 1

Um instrumento de base móvel possui uma massa vibrando dentro dele, com mola e amortecedor.

Dados da questão:

  • Massa: m = 2   kg .
  • Rigidez da mola: k = 1,5   kN/m .
  • Coeficiente de amortecimento: c . (Desconhecido!)
  • Amplitude do movimento da base: b = 18 / 2 = 9   mm .
  • Frequência de oscilação da base: ω = 5   Hz .
  • Amplitude do movimento da massa em relação à base: X = 24 / 2 = 12   mm .

Queremos descobrir a constante de amortecimento c do sistema! Primeiro vamos entender o que está acontecendo, e ver qual fórmula podemos usar.

Passo 2

Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento y qualquer para a massa em relação à base. Além disso, temos um movimento y B da base também! Vamos supor que os dois são positivos quando indo pra cima.

Se a base subir um comprimento y B , a massa vai subir esse y B mais um comprimento y dentro do dispositivo! As forças elásticas e do amortecimento vão resistir esse movimento.

∑ F e x t = m ( y ¨ + y ¨ B )

m y ¨ + y ¨ B = - c y ˙ - k y

m y ¨ + c y ˙ + k y = - m y ¨ B

Temos uma frequência e amplitude de movimento para base. Vamos supor que y B = b sen ⁡ ω t . Derivando e substituindo:

m y ¨ + c y ˙ + k y = m b ω 2 sen ⁡ ω t

y ¨ + 2 ξ ω n y ˙ + ω n 2 y = b ω 2 sen ⁡ ω t

Agora podemos comparar com nossas equações usuais para identificar termos e usar fórmulas!

Passo 3

Equação usual:

y ¨ + 2 ξ ω n y ˙ + ω n 2 y = F 0 m sen ⁡ ω t

Comparando, vemos que o análogo F 0 é

F 0 = b ω 2 m

No regime permanente, a amplitude da resposta é

X = F 0 / k 1 - ω ω n 2 2 + 2 ξ ω ω n 2  

Substituindo F 0 = b ω 2 m e lembrando que ω n 2 = k / m :

X =   b ω 2 / ω n 2 1 - ω ω n 2 2 + 2 ξ ω ω n 2  

Como sabemos o valor de X , b , ω e ω n , depois de umas continhas achamos que

ξ = 0.408

E pela definição do fator de amortecimento:

ξ = c 2 m ω n

c = 44,6   Ns/m

Resposta

Constante de amortecimento: c = 44,6   Ns/m .

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