Enunciado

Um motor elétrico exerce um torque de 675   N ⋅ m sobre o eixo de alumínio A B C D quando está girando com uma velocidade constante. Sabendo-se que G = 26   G P a e os torques aplicados sobre as polias B e C são tal como mostrado, determinar o ângulo de torção entre: (a) B e C ; (b) B e D .

Passo 1

A questão trata sobre o ângulo de torção, que é definido pela equação:

ϕ = T ⋅ L J ⋅ G

Onde:

  • ϕ é o ângulo de torção dado em radianos.
  • T é a torção
  • J o momento polar de inércia
  • G módulo de elasticidade

Pô, se o problema nos deu o módulo de elasticidade, o momento polar de inércia a torção e pede o ângulo então não deve ser algo muito complicado, correto? E sim, realmente não é, só precisamos ficar atentos a uma coisinha, qual torque atua na barra A B e na barra B C .

Para isso vamos fazer as seções e descobrir os torque.

Passo 2

A barra A B não sofre nenhum torque, porque elas está livre para rotacionar, então vamos seccionar a barra B C :

Para que a barra permaneça em equilíbrio deve haver um torque no valor de 28 0   N ⋅ m sendo aplicado na direção oposta, não é mesmo? Esse é o torque T mostrado na imagem e que vai entrar na nossa continha:

ϕ B C = T B C ⋅ L B C J B C ⋅ G B C

Passo 3

Vamos calcular o momento polar de inércia rapidinho, lembrado que o raio dessa barra é de 22,5   m m

J = π ⋅ ( 22,5 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 256.289 × 10 - 12 2

J = 402.578 × 10 - 12   m 4

Passo 4

Agora podemos substituir na equação

ϕ B C = 280 ⋅ 1,15 402.578 × 10 - 12 ⋅ 26 × 10 9

ϕ B C = 280 ⋅ 1,15 402.578 ⋅ 26 ⋅ 1 10 - 12 × 10 9

ϕ B C = 0,0000307 ⋅ 10 3   r a d

ϕ B C = 0 , 0307   r a d

Para transformar em graus é só multiplicar por

360 ° 2 π   r a d

ϕ B C = 0,0307   r a d ⋅ 360 ° 2 π   r a d

ϕ B C = 1,76 °

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a barra C D e depois é só somar os ângulos! Então vamos seccionar a barra C D :

Agora para que a barra permaneça em equilíbrio deve haver um torque T contrapondo os outros dois, ou seja:

T = 280 + 395

T = 675   N ⋅ m

Agora vamos substiruir na nossa conta

ϕ C D = T C D ⋅ L C D J C D ⋅ G C D

Passo 6

Vamos calcular o momento polar de inércia rapidinho, lembrado que o raio dessa barra é de 25   m m

J = π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 390.625 × 10 - 12 2

J = 613.592 × 10 - 12   m 4

Passo 7

Agora podemos substituir na equação:

ϕ C D = 675 ⋅ 0,9 613.592 × 10 - 12 ⋅ 26 × 10 9

ϕ C D = 675 ⋅ 0,9 613.592 ⋅ 26 ⋅ 1 10 - 12 × 10 9

ϕ C D = 0,000 0381 ⋅ 10 3   r a d

ϕ C D = 0 , 0381   r a d

Para transformar em graus é só multiplicar por

360 ° 2 π   r a d

ϕ C D = 0,0381   r a d ⋅ 360 ° 2 π   r a d

ϕ C D = 2,18 °

Passo 8

Somar os dois ângulos:

ϕ B D = ϕ B C + ϕ C D

ϕ B D = 1,76 ° + 2,18 °

ϕ B D = 3,94 °

Resposta

a)

ϕ B C = 1,76 °

b)

ϕ B D = 3,94 °

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