Enunciado

O motor de engrenagens pode desenvolver 100   W quando gira a 80   rev/minuto . Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for τ A d m = 28   MPa , determine, com aproximação de múltiplos de 5   mm , o menor diâmetro que pode ser usado.

Passo 1

Olá, tá bem?

Então, vamos entender toda essa situação. Não se assusta com essa história do motor. Basicamente temos um eixo, que transmite potência P = 100   W sob frequência f = 80   rev/minuto .

Por transmitir essa potência, o eixo sofre torção, que vai produzir uma tensão de cisalhamento nele. A tensão no eixo não pode ultrapassar τ A d m = 28   Mpa , ou seja, esse é o nosso valor máximo para a tensão

τ m á x = τ a d m = 28   M P a

E ele quer saber o diâmetro desse eixo. A fórmula da tensão de cisalhamento quando a gente tem torção é:

τ = T   r J

Esse é r é a distância entre o centro da seção e o ponto onde queremos a tensão,

Percebe que quanto maior r maior τ , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda do eixo! Essa tensão que deve ser igual a nossa tensão admissível para que o eixo resista ao torque. Logo, r vai ser o raio R do nosso eixo:

τ a d m = τ m á x = T   R J

A ideia é a gente usar essa fórmulinha e achar o diâmetro que esse eixo tem que ter. Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando J , que é o momento polar de inércia do eixo. Como esse eixo é um cilindro maciço (não é um tubo com raio interno e externo), o momento polar é dado por

J = π R 4 2

Mas esse R é que é o raio da seção pode ser escrito como a metade do diâmetro do eixo:

R = d 2

Substituindo isso, vamos achar

J = π 2 d 2 4

J = π 2 d 4 16

J = π d 4 / 32

Passo 3

Vamos achar mais uma peça da fórmula da tensão, o torque T no eixo!

Quando há transmissão de potência, o torque está relacionado a essa potência pela fórmulinha:

P = 2 π T f

Temos

P = 100   W

f = 80 r e v m i n = 80 60   r e v / s

Repara que a gente dividiu nossa frequência por 60 para sairmos de r e v / m i n e irmos para r e v / s , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.

Substituindo nossos dados na fórmulinha e isolando T :

100   W = 2 π ⋅ T ⋅ 80 60   rev/s

T = 11,937   Nm

Passo 4

Agora vamos ver que diâmetro pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque:

τ = T   R J  

Substituindo nossos valores e sabendo R = d / 2 :

  28 MPa = 11,937   Nm ⋅   d / 2   π d 4 / 32

Isolando d :

d = 12,95   mm

Aproximando com múltiplos de 5   mm , porque ele pede:

d = 15   mm

Repara que a gente arredondou o resultado para cima. A gente sempre faz isso quando dimensiona o diâmetro do eixo maciço, tá?

Resposta

Diâmetro: d = 15   mm .

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