Enunciado

A roseta de deformação a 45° está montada próxima ao dente da ferramenta. As seguintes leituras foram obtidas para cada extensômero: ∈ a = 800 × 10 - 6 ;   ∈ b = 520 × 10 - 6   e ∈ c = - 450 × 10 - 6 .   Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o

elemento distorcido devido a essas deformações.

Passo 1

a) Fala galera, bora pra mais um problema de Resmat? Boraaa!

O problema quer que a gente determine as deformações principais no plano.

Vamos colocar o eixo x positivo na direção e sentido de a . Aí nessa direção a gente tem θ = 0 ° e θ cresce no sentido anti-horário. E assim y positivo aponta na direção de c .

Então temos que as deformações nos extensômetros e as orientações deles são:

ℇ a = 800 × 10 - 6 → θ = 0 ° ℇ b = 520 × 10 - 6 → θ = 45 ° ℇ c =   - 450 × 10 - 6 → θ = 90 °

A ideia é achar as deformações normais e de cisalhamento no plano x y . E através delas achar as deformações principais. Vamos lá!

Passo 2

Com esse sistema de referências que a gente escolheu, podemos achar as deformações nos nossos eixos. No eixo x vamos ter:

ℇ x = ℇ a ∴ ℇ x = 800 × 10 - 6

Para o eixo y :

ℇ y = ℇ c ∴ ℇ y = - 450 × 10 - 6

E por essa fórmulinha aqui a gente acha a deformação de cisalhamento no plano:

γ x y = 2 ε b - ε a + ε c

Substituindo os nossos dados e calculando:

γ x y = 690 × 10 - 6

Aí com isso a gente consegue achar as principais. Vem!

Passo 3

Para calcularmos as deformações principais vamos usar a seguinte fórmula:

ℇ 1,2 = ℇ x + ℇ y 2 ± ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

Sendo que

ℇ x = 800 × 10 - 6

ℇ y = - 450 × 10 - 6

γ x y = 690 × 10 - 6

Subsituindo, ficamos com:

ℇ 1 = ℇ x + ℇ y 2 + ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

ℇ 1 = 889 × 10 - 6

E para ℇ 2

ℇ 2 = ℇ x + ℇ y 2 - ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

ℇ 2 = - 539 × 10 - 6

Passo 4

A orientação do elemento será dada por:

t g   2 θ p = γ x y ℇ x - ℇ y

t g   2 θ p = 690 800 + 450

θ p 1 = 14,45 °

Vamos dizer que essa é a orientação do nosso eixo x ' . Para saber qual a tensão principal relacionada a esse eixo, a gente usa:

ℇ x ' = ℇ x + ℇ y 2 + ℇ x - ℇ y 2 cos ⁡ 2 θ p + γ x y 2 sen ⁡ 2 θ p

Substituindo nossos valores:

ℇ x ' = 800 - 450 10 - 6 2 + 800 + 450 10 - 6 2 cos ⁡ 2 14.45 ° + 690 10 - 6 2 sen ⁡ 2 14.45 °

ℇ x ' = 889 × 10 - 6

Reapara que essa é ℇ 1 que a gente achou. Então a deformação em y ' vai ser

ℇ y ' = ℇ 2 = - 539 × 10 - 6

Obs: o gabarito diz que o ângulo θ p é diferente, mas pela fórmulinha para descobrir quem era ℇ x ' , vemos que nosso ângulo está certo porque achamos ℇ 1 , tudo bem? Então estamos certinhos!

Passo 5

Aí fazendo o desenho do elemento na orientação θ p = 14,45 ° onde temos as tensões principais:

Percebe que como ℇ y ' é negativo a deformação que ele causa no elemento reduz sua altura em y ' .

Passo 6

b) Na letra b, ele nos pede a deformação por cisalhamento máxima e a deformação média associada. A deformação de cisalhamento máximo é dada pela fórmulinha:

γ m á x 2   = ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

γ m á x   = 2 ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

γ m á x = 1428 × 10 - 6

E a deformação normal média associada é a média das nossas deformações:

∈ m é d = ℇ x + ℇ y 2 = 175 × 10 - 6

Passo 7

Já a orientação, será dada por:

t g   2 θ s = - ℇ x - ℇ y γ x y

Substituindo e calculando

θ s = - 30,55 °

E aí a gente usa esse ângulo para saber o sinal certo da deformação de cisalhamento pela fórmulinha:

γ m a x 2 = - ℇ x - ℇ y 2 sen ⁡ 2 θ s + γ x y 2 cos ⁡ 2 θ s

Substituindo nossos dados aí e isolando γ m a x

γ m a x = 1428 × 10 - 6

Ele é positivo mesmo como a gente achou antes. Aí pela convenção essa distorção faz com que o ângulo reto do elemento que tem vértice na origem diminua.

Obs: por essa fórmula de verificação, vemos também que o ângulo que achamos está certinho. E que o gabarito pode estar com um errinho mesmo, tá?

Passo 8

Nosso elemento bonito para essa situação fica assim:

Resposta

a) ℇ 1 = 889 × 10 - 6 ℇ 2 = - 539 × 10 - 6

b) γ m á x = 1428 × 10 - 6

∈ m é d = 175 × 10 - 6

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