Enunciado

O motor transmite 33   k W ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20   H z . O eixo é apoiado em mancais lisos em A e B , que permitem a livre rotação do eixo. As engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 20   k W e 12   k W , respectivamente. Determine o diâmetro do eixo com aproximação de m m se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 56   M P a e o ângulo de torção admissível de C em relação a D for 0,20 ° .

Passo 1

Olá, galera! E aí, vamos resolver esse problema?

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

P m o t o r = 33   k W

f =   20   H z

P C = 20   K W

P D = 12   k W

τ a d m   =   56   M P a  

ϕ = 0,20 °

Aço inoxidável 304, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9 P a

Só que sabemos que a potência fornecida pelo moto deve ser divida pelas duas engrenagens, portanto se a engrenagem C recebe 20   k W , então a engrenagem D vai receber 13   k W e não 12   k W .

Para essa questão vamos calcular o diâmetro para tensão de cisalhamento máxima permitida e para o ângulo de torção máximo permitido e comparar os resultados.

Não é fornecida a rotação do eixo, mas podemos encontrá-la usando a frequência:

ω = 2 π f

ω = 125,66   r a d / s

Passo 2

Vamos observar o diagrama de corpo livre:

Calculando os torques:

T m = P m o t o r ω = 33 ⋅ 10 3 125,66

T m = 262,61   N ⋅ m

T m o t o r age na seção A C , então T m = T A C .

Na engrenagem C :

T C = P C ω = 20 ⋅ 10 3 125,66

T C = 159,16   N ⋅ m

Na seção C D , fazendo o somatório dos momentos, temos que:

↺ + ∑ M x = 0

T C D = T m - T C

T C D = 262,61 - 159,16

T C D = 103,45

E na engrenagem D :

T D = P D ω = 13 ⋅ 10 3 125,66

T D = 103,45   N ⋅ m

E, portanto, T D = T D C .

Passo 3

Primeiro vamos encontrar o diâmetro do eixo usando a fómula da tensão de cisalhamento máxima admissível:

τ a d m = T m ⋅ c J

Em que c é o raio e o momento polar de inércia, J , é dado por:

J = π 2 ⋅ ( c 4 )

Que substituindo em τ a d m , fica:

τ a d m = 2 ⋅ T m π ⋅ c 3

Aplicando os valores, temos:

56 ⋅ 10 6 = 2 ⋅ 262,61 π ⋅ c 3

c = 0,014399   m = 14,4   m m

Portanto, o diâmetro é:

d = 2 ⋅ 14,4

d = 28,8   m m

Passo 4

Agora vamos encontrar o diâmetro usando a fómula do ângulo de torção, mas primeiramente vamos converter o ângulo dado de graus para radianos.

ϕ C / D = 0,20 ° ⋅ π 180 °

ϕ C / D = 0,003490658   r a d

O ângulo de torção é dado por:

ϕ C / D = T C D L C D J G a ç o

Que substituindo o J , fica:

ϕ C / D = 2 T C D L C D π ⋅ c 4 ⋅ G a ç o

Agora colocando todos os dados, temos:

0,003490658 = 2 ⋅ 103,45 ⋅ 0,2 π ⋅ c 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

c = 0,01497   m = 14,97   m m

Calculando o diâmetro:

d = 2 ⋅ 14,97

d = 29,94   m m

Para que sejam atendidas as duas especificações, ou seja, não exceder nem a tensão de cisalhamento máxima e nem o ângulo de torção máximo, o diâmetro do eixo deve ser o menor dentre os resultados obtidos.

Resposta

d = 28,8   m m

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