Enunciado

O motor transmite um torque de 50   Nm ao eixo A B . Esse torque é transmitido ao eixo C D pelas engrenagens em E e F . Determine o torque de equilíbrio T ' no eixo C D e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Os mancais B , C e D permitem a livre rotação dos eixos.

Passo 1

Olá!

Um motor impõe um torque T A = 50   Nm no eixo A B . O torque é transmitido para o eixo C D usando engrenagens. Os mancais não resistem aos torques.

Vamos anotar tudo que sabemos dos eixos.

Características do eixo A B :

  • Raio do eixo: r A B = 30 / 2 = 15   mm .
  • Momento polar de inércia: J A B = π r 4 / 2 = 79521,5640   mm 4 .
  • Raio da engrenagem em E : R E = 50   mm .
  • Características do eixo C D :

  • Raio do eixo: r C D = 35 / 2 = 17,5   mm .
  • Momento polar de inércia: J C D = π r 4 / 2 = 147323,5149   mm 4 .
  • Raio da engrenagem em F : R F = 125   mm .

Na extremidade do eixo C D , há um torque T ' para equilibrar tudo. Queremos descobrir esse torque!

Então primeiro temos ver como o torque se transmite.

Depois, queremos saber a tensão máxima de cisalhamento em cada eixo. Vamos precisar da fórmula da torção:

τ = T   r J

E só o que nos falta nessa fórmula são os torques mesmo!

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada eixo. Vamos ver como que torques são transmitidos!

O torque na seção da engrenagem em E vai ser o torque imposto pelo motor: T A B = 50   Nm . Isso porque não há outro torque ali nem alguma reação.

Podemos dizer que esse torque é gerado por uma força nessa engrenagem distante r E do seu centro. A fórmulinha do torque fica:

T E = r E × F E → F E = T E r E → F E = T A r E

Acontece o mesmo no torque gerado em F :

T F = r F × F F → F F = T F r F

Pelo equilíbrio, como essas engrenagens estão em contato, essas forças precisam ser iguais:

F E = F F → T A r E = T F r F

T F = T A ⋅ r F r E = 50 125 50 = 125   N m

Como não temos outros torques ou reações, esse vai ser o torque do eixo

T C D = 125   Nm

E como não temos mais nenhum torque agindo (os mancais não reagem nessa questão!), o torque T ' para equilibrar tem que ser

T ' = T C D

T ' = 125   Nm

Passo 3

Moleza, já foi a questão quase toda! Agora vamos achar as tensões máximas.

Em A B , temos torque T A B = 50   Nm . Para achar a tensão máxima, é só jogar na fórmula!

τ m a x = T   r J         →         τ m a x A B = 50   N m   ⋅ 15   mm 79521,5640   mm 4

τ m a x A B = 9,43   MPa

E para C D , temos torque T C D = 125   Nm . Então:

τ m a x = T   r J         →         τ m a x C D = 125   N m   ⋅ 17,5   mm 147323,5149   mm 4

τ m a x C D = 14,85   MPa

Resposta

Torque de equilíbrio: T ' = 125   Nm .

Tensão máxima em A B : τ m a x A B = 9,43   MPa .

Tensão máxima em C D : τ m a x C D = 14,85   MPa .

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