Enunciado

O ônibus espacial é lançado com uma velocidade vetorial de 28000 km/h paralela à tangente da superfície da Terra no ponto P e então se move em torno da órbita elíptica. Quando ele chega ao ponto A , seus motores são ligados e sua velocidade vetorial é subitamente aumentada. Determine o aumento necessário na velocidde vetorial de maneira que ele entre na segunda órbita elíptica.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

No ponto P , a velocidade do ônibus é de v P = 28000   k m / h , a órbita é elíptica e o raio é r P .

No ponto A , a velocidade do ônibus aumenta para que ele entre na órbita elíptica com raio de r P ' quando passa por P ' .

Devemos determinar o aumento necessário na velocidade ( ∆ v ) no ponto A para que o ônibus consiga entrar nesta segunda órbita.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

Para a primeira trajetória elíptica:

r P = 2400 + 6378 = 8778   k m = 8778   10 3   m

E

v P = 28000 k m h   1 3600 h s 1000 m k m = 7,7778   10 3   m / s

Atenção! Lembre sempre de utilizar as unidades do sistema de unidades SI.

Passo 3

Agora vamos analisar o ponto A , que é o ponto em comum entre as duas órbitas.

Utilizando o resultado encontrado para r p e v p , podemos encontrar o raio r a . Este raio é a maior distância da órbita ao centro da Terra e está localizado no ponto A .

r a = r P 2 G M e r P v P 2 - 1 = 8778 ( 10 3 ) 2 ( 66,73 ) ( 10 - 12 ) ( 5,976 ) ( 10 24 ) 8778 10 3 7777,8 2 - 1

r a = 17,49   10 6   m

Sabemos que h é uma constante e seu valor é dado por

h = r P v P = 8778 10 3 7,7778 10 3 = 6,83 10 10   m 2 / s

logo,

r a v a = h

17,49   10 6 v a = 6,83 10 10

v a = v A = 390 4,06   m / s

Onde v a é a velocidade em A do ônibus ao realizar a primeira trajetória elíptica.

Passo 4

Após passar pelo ponto A , o ônibus entrará em uma nova órbita elíptica.

Ao entrar nesta segunda trajetória elíptica, temos que

r P ' = 7200 + 6378 = 13578   k m = 13578   10 3   m

r a ' = r a = 17,49   10 6   m

Vamos encontrar a velocidade no ponto P ' :

r a ' = r P ' 2 G M e r P ' v P ' 2 - 1

17,49   10 6 = 13578   10 3   2 ( 66,73 ) ( 10 - 12 ) ( 5,976 ) ( 10 24 ) 13578   10 3 v P ' 2 - 1

2 66,73 10 - 12 5,976 10 24 13578   10 3 v P ' 2 - 1 = 13578 10 3 17,49 10 6  

2 66,73 10 - 12 5,976 10 24 13578   10 3 v P ' 2 = 13578 10 3 17,49 10 6 + 1 = 1,776  

2 66,73 10 - 12 5,976 10 24 13578   10 3 = 1,776 v P ' 2

v P ' 2 = 33,07 10 6

v P ' = 5750,44   m / s

Se h ' = r P ' v P ' = 13578 10 3 5750,44 = 7,81 10 10   m 2 / s é constante,

r a ' v a ' = h '

17,49   10 6 v a ' = 7,81 10 10

v a ' = v A ' = 4464,24   m / s

Onde v a ' é a velocidade do ponto A ao cursar a segubda trejetória elíptica.

Portanto, o aumento necessário na velocidade vetorial é de

∆ v A = v A ' - v A = 4464,24 - 3904 , 0 6 = 560,2   m / s

Resposta

∆ v A = v A ' - v A = 560 , 2   m / s

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