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A partícula P é liberada no instante de tempo t = 0 a partir da posição r = r 0 no interior do tubo liso sem velocidade em relação ao tubo, que é acionado na velocidade angular constante ω 0 em torno de um eixo vertical. Determine a velocidade radial v r a posição radial r , e a velocidade transversal v θ como funções do tempo t . Explique por que a velocidade radial aumenta com o tempo na ausência de forças radiais. Trace a trajetória absoluta da partícula durante o intervalo de tempo em que a partícula está no interior do tubo para r 0 = 0,1   m , l = 1   m e ω 0 = 1   r a d / s .

Passo 1

Vamos começar procurando a velocidade radial em função do tempo. Como não temos nenhuma força na direção radial, podemos usar a segunda lei de Newton para escrever o seguinte:

∑ F r = 0

m r ¨ - r ω 0 2 = 0

r ¨ = r ω 0 2

E como queremos a velocidade radial v r = r ˙ , vamos usar a regra da cadeia para reescrever o termo da esquerda:

r ¨ = d r ˙ d t = d r ˙ d r d r d t = r ˙ d r ˙ d r

r ˙ d r ˙ d r = r ω 0 2

r ˙   d r ˙ = r ω 0 2   d r

Ótimo, essa é uma equação diferencial separável, que pode ser resolvida para acharmos r ˙ . Integrando dos dois lados ficamos com o seguinte:

∫ r ˙   d r ˙ = ∫ r ω 0 2   d r

r ˙ 2 2 - r ˙ 0 2 2 = r 2 2 ω 0 2 - r 0 2 2 ω 0 2

r ˙ 2 - r ˙ 0 2 = ω 0 2 ( r 2 - r 0 2 )

Mas o enunciado diz que r ˙ 0 = 0 , então:

r ˙ = v r = ω 0 r 2 - r 0 2

E ficamos apenas com o resultado positivo porque sabemos que a velocidade do cursor aponta para fora do tubo.

Mas isso ainda não está em função do tempo! Precisamos fazer mais algumas contas.

Passo 2

d r d t = ω 0 r 2 - r 0 2

∫ 0 t d t = t = 1 ω 0 ∫ r 0 r d r r 2 - r 0 2

E podemos resolver essa integral consultando uma tabela:

∫ d x x 2 - a 2 = ln ⁡ x + x 2 - a 2

Aplicando essa fórmula na nossa integral:

t = 1 ω 0 ln ⁡ r + r 2 - r 0 2 - ln ⁡ r 0

ω 0 t = ln ⁡ r + r 2 - r o 2 r 0

r + r 2 - r o 2 = r o e ω 0 t

r 2 - r o 2 = r 0 e ω 0 t + r

E elevando tudo ao quadrado:

r 2 - r 0 2 = r 0 2 e 2 ω 0 t + 2 r r 0 e ω 0 t + r 2

2 r r 0 e ω 0 t = r 0 2 ( 1 + e 2 ω 0 t )

E agora podemos dividir tudo por r 0 e isolar o r :

r = r 0 1 + e 2 ω 0 t 2 e ω 0 t

Agora vamos multiplicar por e - ω 0 t no numerador e no denominador:

r = r 0 2 e - ω 0 t + e ω 0 t

Pronto, temos a posição radial em função do tempo.

Passo 3

Agora podemos calcular a velocidade radial em função do tempo apenas derivando:

v r = r ˙

v r = ω 0 r 0 2 e ω 0 t - e ω 0 t

E a velocidade transversal v θ segue uma fórmula bem simples:

v θ = r θ ˙ = r ω 0 = r 0 ω 0 2 e - ω 0 t + e ω 0 t

A velocidade radial aumenta com o tempo apesar da ausência de forças radiais devido à inércia da partícula, assim como você é “jogado” para fora quando um carro faz uma curva acentuada.

Passo 4

Agora vamos traçar a trajetória da partícula com r 0 = 0,1   m , l = 1   m e ω 0 = 1   r a d / s . É interessante reescrever as funções da seguinte forma:

r = r 0 2 e - ω 0 t + e ω 0 t = r 0 senh ⁡ ( ω 0 t ) = 0,1 senh ⁡ ( ω 0 t )

E pensando que ω 0 = θ , temos r = 0,1 senh ⁡ θ . Como queremos desenhar apenas o movimento até quando a partícula deixa o tubo, vamos plotar isso apenas com r ≤ 1 :

Resposta

v r = ω 0 r 2 - r 0 2 ; r = r 0 2 e - ω 0 t + e ω 0 t ; v θ = r 0 ω 0 2 e - ω 0 t + e ω 0 t .

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