Enunciado

A bomba centrífuga com palhetas radiais lisas gira em torno de seu eixo vertical com uma velocidade angular constante θ ˙ = ω . Encontre o módulo N da força exercida por uma palheta sobre uma partícula P de massa m conforme essa se desloca ao longo da palheta. A partícula é introduzida em r = r 0 sem velocidade radial. Assuma que a partícula tem contato somente com a lateral da palheta.

Passo 1

Primeiro é importante perceber que essa imagem é uma visão de cima, ou seja, o peso da partícula é perpendicular ao plano da página.

Vamos começar analisando as forças na direção radial:

∑ F r = 0

Porque a única força que a centrífuga faz sobre a partícula (a normal) é sempre perpendicular ao raio. E então:

0 = m ( r ¨ - r ω 2 )

Para as forças na direção tangencial:

∑ F t = N

N = m r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = m 0 + 2 r ˙ ω = 2 m r ˙ ω

Ok, então ficamos com o seguinte sistema:

m r ¨ - r ω 2 = 0 2 m r ˙ ω = N

Passo 2

A primeira equação do sistema é uma equação diferencial ordinária linear homogênea do segundo grau:

r ¨ = r ω 2

Essa é uma equação bastante comum, e você deve lembrar da solução geral para ela:

r ( t ) = A cosh ⁡ ω t + B senh ⁡ ω t

Eprecisamos achar as constantes através das condições iniciais:

r 0 = r o   ⇒     A = r o

r ˙ 0 = 0         ⇒         B = 0

E então a nossa solução é:

r t = r 0 cosh ⁡ ω t

r ˙ t = r o ω senh ⁡ ω t

E substituindo isso na segunda equação do sistema:

N = 2 m r ˙ ω = 2 m r o ω 2 senh ⁡ ω t

Passo 3

Ainda podemos melhorar um pouco essa fórmula para a força normal:

N = 2 m r o ω 2 senh ⁡ ω t

Retomando a nossa solução para r ( t ) :

r t = r 0 cosh ⁡ ω t

cosh ⁡ ω t = r r 0

E pela relação fundamental:

cosh 2 ⁡ ω t - senh 2 ⁡ ω t = 1

senh 2 ⁡ ω t = cosh 2 ⁡ ω t - 1 = r 2 r 0 2 - 1

Agora podemos substituir na equação anterior:

N = 2 m r o ω 2 r 2 r 0 2 - 1

E como r 0 > 0 podemos disfarçá-lo de r o 2 para que ele possa entrar naquela raiz quadrada:

N = 2 m ω 2 r 2 - r 0 2

Agora sim, resolvido!

Resposta

O módulo da força exercida sobre a partícula N = 2 m ω 2 r 2 - r 0 2 .

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