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Uma partícula se movendo ao longo de uma linha reta desacelera de acordo com a = - k v , onde k é uma constante e v é a velocidade. Se a sua velocidade inicial no instante t = 0 , é v 0 = 4   m / s e a sua velocidade no instante t = 2   s é v = 1   m / s , determine o tempo T e a distância correspondente D para que a velocidade da partícula seja reduzida para um décimo de seu valor inicial.

Passo 1

Vamos começar lembrando da definição da aceleração:

a = d v d t

a   d t = d v

Substituindo com a expressão fornecida pelo enunciado:

- k v   d t = d v

d t = - 1 k d v v

E integrando dos dois lados:

∫ 0 t d t = - 1 k ∫ v 0 v d v v

t = - 1 k ln ⁡ v v 0 = 1 k ln ⁡ v 0 v

Beleza, chegamos em uma expressão que relaciona tempo e velocidade.

Passo 2

Vamos tentar obter os parâmetros dessa expressão. Segundo o enunciado, v 0 = 4   m / s   e quando t = 2   s temos v = 1   m / s

2 = 1 k ln ⁡ 4

k = ln ⁡ 4 2 = ln ⁡ 2 ≅ 0,693   s - 1

Então o tempo T   necessário para que a velocidade da partícula seja reduzida a um décimo do valor inicial é:

T = 1 k ln ⁡ v 0 v = 1 k ln ⁡ v 0 1 10 v 0 = 1 k l n ⁡ ( 10 )

T ≅ ln ⁡ 10 0,693 ≅ 3,32   s

Passo 3

Agora vamos fazer uma coisa muito parecida, mas para a distância ao invés do tempo. Voltando para a definição de aceleração:

a = d v d t

Pela regra da cadeia podemos reescrever essa expressão:

a = d v d s d s d t = v d v d s

E separando as variáveis temos:

a   d s = v   d v

Substituindo a expressão para a velocidade:

- k   v   d s = v   d v

E supondo que a velocidade é sempre diferente de zero:

- k   d s = d v

Integrando os dois lados da equação:

- ∫ 0 s k   d s = ∫ v 0 v d v

- k s = v - v 0

v = v 0 - k s

Passo 4

Beleza, agora se quisermos saber a distância percorrida para que a velocidade seja reduzida a um décimo do valor inicial:

v = 1 10 v 0

v = v 0 - k s

1 10 v 0 = v 0 - k s

k s = 9 10 v 0

s = 9 10 v 0 k

E substiuindo os valores numéricos temos:

s = 9 10 4 0,693 ≅ 5,19   m

Resposta

O tempo decorrido é T = 3,32   s e a distância é s = 5,19   m .

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →