Enunciado

Uma partícula oscila ao longo de uma linha reta com uma velocidade variando senoidalmente em milímetros por segundo dada por v = 16 sen ⁡ π t / 6   , onde t é em segundos. Se o deslocamento da partícula é de 8   m m quando t = 0 , determine o seu deslocamento máximo s m á x e represente graficamente s contra t para um ciclo completo.

Passo 1

Nós já temos a função da velocidade em função do tempo:

v t = 16 sen ⁡ π t 6

E podemos reescrever v ( t ) como:

v t = d s d t

E então:

∫ s 0 s d s = ∫ 0 t 16 sen ⁡ π t 6   d t

s - s 0 = - 96 π cos ⁡ π 6 t + 96 π cos ⁡ 0

s - s 0 = 96 π 1 - cos ⁡ π 6 t

E segundo o enunciado:

s 0 = 8   m m

s ( t ) = 96 π 1 - cos ⁡ π 6 t + 8

Pronto, encontramos a função da posição!

Passo 2

Nosso primeiro objetivo agora é achar o deslocamento máximo, ou seja, qual o valor máximo que s t assume?

s ( t ) = 96 π 1 - cos ⁡ π 6 t + 8

Lembrando que o cosseno sempre varia entre - 1 e 1 , é fácil ver que a função vai ser máxima quando:

cos ⁡ π 6 t = - 1

E nesse caso:

s m á x = 96 π 2 + 8

s m á x ≅ 69,1   m m

Passo 3

E agora só falta desenhar o gráfico de s em função de t :

s ( t ) = 96 π 1 - cos ⁡ π 6 t + 8

Como temos uma função trigonométrica, vamos seguir os seguintes passos para esboçar o gráfico.

Primeiro vamos encontrar o valor quando t = 0 :

s 0 = 96 π 1 - cos ⁡ π 6 0 + 8 = 96 π 1 - 1 + 8 = 8

E já sabemos que o valor máximo é:

s m á x = 69,1   m m

E o valor mínimo ocorre justamente em t = 0 . Para entender isso, olhe pare esse termo:

1 - cos ⁡ π 6 t

O menor valor que ele assume é 0 , e nesse caso teremos:

s m í n = 8   m m

Passo 4

Para completar o esboço do gráfico, precisamos achar o comprimento de um período completo. O período depende apenas do cosseno:

cos ⁡ π 6 t

Quando tempo ele demora para se repetir? Bom, o cosseno se repete depois que o argumento varia de 0 até 2 π , ou seja, precisamos achar dois valores de t :

π 6 t m í n = 0         ⇒             t m í n = 0

π 6 t m á x = 2 π         ⇒           t m á x = 12

Com essas informações já podemos esboçar o gráfico:

Pronto!

Resposta

O deslocamento máximo é s m á x = 69,1   m m

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