Enunciado

O pêndulo de 3 lb oscila em torno do eixo OO e tem um centro de massa em G. Quando θ = 0, cada mola tem um alongamento inicial de 4 pol. Calcule a rigidez máxima k de cada uma das molas paralelas que permitirá que o pêndulo seja em equilíbrio estável na posição inferior θ = 0.

Passo 1

Observe que não há forças externas atuando no sistema, portanto, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ V = 0 δ V e + δ V g = 0 (1)

Podemos ver pelo esboço que metade do comprimento da mola é

l 2 = 20 s i n ⁡ 180 ∘ - θ 2

Portanto, o comprimento total da primavera é

l = 40 s i n ⁡ π - θ 2

Passo 2

Observe que quando θ = 0, a mola está 4 pol. Esticada e seu comprimento é

l θ = 0 = 20 + 20 = 40 ' '

O que significa que o comprimento da mola não esticada é

l 0 = l θ = 0 - 4 l 0 = 36 ' '

Sabendo disso, podemos escrever a mudança no comprimento da mola como

Δ l = l - l 0 Δ l = 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36

Também podemos ver que a mudança na altura h é

h = 30 c o s ⁡ θ

Passo 3

Escreveremos a expressão da energia potencial gravitacional

V g = m g h

Substituiremos h por   30 c o s ⁡ θ

V g = 30 m g c o s ⁡ θ

Derivaremos ambos lados da equação

δ V g = 30 m g s i n ⁡ θ δ θ (2)

Uma vez que temos duas molas acopladas, e escrevemos a mudança no comprimento da mola como Δl, podemos escrever a expressão para a energia potencial elástica como

V e = k ( Δ l ) 2

Substituiremos ( Δ l ) 2 por 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36 2

V e = k 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36 2

Derivaremos ambos lados da equação

δ V e = - k ⋅ 40 c o s ⁡ π - θ 2 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36 δ θ

Passo 4

Em seguida, vamos substituir δVg e δVe pelas expressões (2) e (3) na equação

30 m g s i n ⁡ θ - k ⋅ 40 c o s ⁡ π - θ 2 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36 δ θ = 0

Observe que, para que o sistema esteja em equilíbrio, a segunda derivada da equação de equilíbrio precisa ser maior que zero

30 m g s i n ⁡ θ - k ⋅ 40 c o s ⁡ π - θ 2 40 s i n ⁡ π - θ 2 - 36 d d θ > 0 30 m g c o s ⁡ θ - 800 k s i n 2 ⁡ π - θ 2 + 800 k c o s 2 ⁡ π - θ 2 > 0

Para verificar a estabilidade de θ = 0, vamos simplesmente colocar o valor de θ na expressão (4)

30 m g c o s ⁡ 0 ∘ - 800 k s i n 2 ⁡ π 2 + 800 k c o s 2 ⁡ π 2 > 0 30 m g - 800 k > 0

Expressaremos k como

k < 30 m g 800

Substituiremos g por seus valores

k < 30 ⋅ 3 ⋅ 9.81 800 k < 1.104 l b / i n .

Para que o sistema seja estável em θ = 0, a rigidez k não pode ser maior que 1,104 lb / in., Portanto, podemos dizer que a rigidez máxima k que garantirá a estabilidade é

k m a x = 1.104 l b / i n

Resposta

k m a x = 1.104 l b / i n

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A grua pode ser ajustada para qualquer ângulo 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° e qualquer extensão 0 ≤ x ≤ 5m . Para uma massa suspensa de 120k g , determine o momento desenvolvido em A em função de x e θ . Que valores
O virabrequim está sujeito a um torque M = 50N · m . Determine a força compressiva horizontal F aplicada ao pistão para o equilíbrio quando θ = 60 ° .
A lixeira tem peso W e centro de gravidade em G . Determine a força no cilindro hidráulico necessária para mantê-la na posição genérica θ .
O virabrequim está sujeito a um torque M = 50N · m . Determine a força compressiva horizontal F e faça o gráfico de F (ordenada) versus θ , (abscissa) para 0 ≤ θ ≤ 9 0 ° .
Determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade do mecanismo nessa posição. A mola tem rigidez k = 1,5k N / m e não está deformada quando θ = 90 ° . O bloco A tem massa de 40k g