Enunciado

O pequeno cilindro é fabricado para se deslocar ao longo da haste giratória com um movimento entre r = r 0 + b e r = r 0 - b dado por r = r 0 + b sen ⁡ 2 π t τ , onde t é o tempo contado a partir do instante em que o cilindro passa a posição r = r 0 e τ é o período de oscilação (tempo para uma oscilação completa). Simultaneamente, a haste gira em torno da vertical na velocidade angular constante θ ˙ . Determine o valor de r para o qual a aceleração radial (direção r) é zero.

Passo 1

Nosso objetivo é achar o ponto em que a aceleração radial é zero. Como calcular essa aceleração?

Nesse caso vamos ter que considerar duass coisas: o movimento do próprio cilindro entres os pontos r 0 + b e r 0 - b , e a aceleração centrípeta por conta do movimento da haste.

a = a c i l i n d r o + a h a s t e

Beleza, já temos tudo para calcular os dois valores!

Passo 2

Para encontrar a aceleração do próprio cilindro é só derivar a função que o enunciado deu em relação ao tempo:

a c i l i n d r o = r ¨

a c i l i n d r o = d 2 d t 2 r 0 + b sen ⁡ 2 π t τ

a c i l i n d r o = d d t 2 π b τ cos ⁡ 2 π t τ

a c i l i n d r o = - 4 π 2 b τ 2 sen ⁡ 2 π t τ

E agora a aceleração centrípeta. Se você esquecer a fórmula para o caso de coordenadas polares, é só lembrar do seguinte:

a = - v 2 r

v = ω r = θ ˙ r

a = - θ ˙ r 2 r = - r θ ˙ 2

E o sinal negativo aparece quando nós definimos o sentido positivo como sendo voltado para fora, sendo que a força centrípeta aponta para dentro

Então nossa equação é:

a = - 4 π 2 b τ 2 sen ⁡ 2 π t τ - r θ ˙ 2

Passo 3

Falta agora encontrar o valor de r quando a é nulo:

0 = - 4 π 2 b τ 2 sen ⁡ 2 π t τ - r θ ˙ 2

r θ ˙ 2 = - 4 π 2 b τ 2 sen ⁡ 2 π t τ

Substituindo com a equação para r :

r = r 0 + b sen ⁡ 2 π t τ

b sen ⁡ 2 π t τ = r - r 0

Então:

r θ ˙ 2 = - 4 π 2 τ 2 ( r - r 0 )

r θ ˙ 2 + 4 π 2 τ 2 = 4 π 2 τ 2 r 0

r = 4 π 2 τ 2 θ ˙ 2 + 4 π 2 τ 2     r o

r = 1 1 + θ ˙ 2 τ 2 4 π 2   r o

E então:

r = 1 1 + θ ˙ τ 2 π 2 r 0

Pronto!

Resposta

A aceleração radial é zero quando r = 1 1 + θ ˙ τ 2 π 2 r 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um lançador de beisebol, joga a bola horizontalmente com uma velocidade escalar de 42m/s. se o rebatedor está a 18 m de distância, determinar o tempo que a bola leva para chear até ele e a altura h em
Um bombeiro segura a mangueira a um ângulo θ = 30 ° com a horizontal, e a água é lançada da mangueira em A com uma velocidade de v a = 12m / s . Se a corrente de água atinge o prédio em B , determine
Uma motocicleta deixa a rampa movendo-se a 33m / s , determine a altura h que a rampa B deve ter de maneira que a motocicleta pouse seguramente.
A bola é lançada em A e atinge o solo em B em 3s. determinar a intensidade da velocidade no momento em que a bola toca o solo, sua velocidade inicial va e o ângulo de inclinação em que ela foi jogada
Uma máquina de lançar bolas de beisebol está ajustada de maneira que a bola de beisebol seja lançada com uma velocidade escalar de v A = 30 m/s. Se a bola atinge o solo em B, determine os dois ângulos