Enunciado

Um pequeno cursor de massa m recebe uma velocidade inicial de módulo v 0 sobre a guia horizontal circular fabricada a partir de uma haste delgada. Se o coeficiente de atrito dinâmico é μ k , determine a distância percorrida antes de o cursor atingir o repouso. (Sugestão: Observe que a força de atrito depende da força normal resultante.)

Passo 1

A força normal cumpre dois papéis nesse movimento: existe uma componente que compensa o peso do cursos (apontando para cima), e outra que mantém a trajetória circular (apontando para o centro do círculo):

N n = m v 2 r

N y = m g

Então a força normal total é:

N = N n 2 + N y 2 = m v 2 r 2 + m g 2 = m r v 4 + r 2 g 2

E então a força de atrito é:

F a t = N μ s = m μ s r v 4 + r 2 g 2

Que age na direção tangencial, porque é sempre contrário ao movimento do corpo.

Passo 2

Essa força de atrito produz uma desaceleração:

a = - μ s r v 4 + r 2 g 2

E como podemos relacionar isso com a distância percorrida pelo cursor?

a = d v d t = d v d s d s d t = v d v d s

E então:

a   d s = v   d v

- μ s r v 4 + r 2 g 2   d s = v   d v

- μ s r   d s = v v 4 + r 2 g 2   d v

Vamos integrar:

- μ s r ∫ 0 s d s = ∫ v 0 0 v v 4 + r 2 g 2   d v

- μ s r s = ∫ v 0 0 v v 4 + r 2 g 2   d v

Passo 3

Agora precisamos resolver essa integral.

- μ s r s = ∫ v 0 0 v v 4 + r 2 g 2   d v

Vamos usar uma substituição:

u = v 2         ⇒       d u = 2 v   d v

- μ s r s = 1 2 ∫ v 0 0 d u u 2 + r 2 g 2  

- 2 μ s r s = ∫ u 0 0 d u u 2 + r 2 g 2  

E agora podemos consultar a tabela de integrais no final do livro e aplicar essa fórmula:

∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2

E então:

- 2 μ s r s = - ln ⁡ u 0 + u 0 2 + r 2 g 2 + ln ⁡ r g

s = - r 2 μ s ln ⁡ r g u 0 + u 0 2 + r 2 g 2

s = r 2 μ s ln ⁡ u 0 + u 0 2 + r 2 g 2 r g

E agora podemos substituir de volta u 0 = v 2 :

s = r 2 μ s ln ⁡ v 0 2 + v 0 4 + r 2 g 2 r g

E essa é a distância que o cursor percorre até parar.

Resposta

A distância percorrida até o repouso é s = r 2 μ s ln ⁡ v 0 2 + v 0 4 + r 2 g 2 r g .

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