Enunciado

O pequeno rolo da haste esbelta uniforme repousa contra a superfície vertical em A enquanto a extremidade arredondada em B repousa sobre a plataforma que é lentamente girada para baixo começando da posição horizontal mostrada. Se a barra começar a deslizar quando θ = 25 ° , determine o coeficiente de atrito estático μ s entre a barra e a plataforma. Despreze o atrito no rolo e a pequena espessura da plataforma.

Passo 1

Primeiro, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre da haste AB

Podemos assumir com segurança que o ângulo θ será máximo quando a força de atrito FB for máxima

Conhecendo o coeficiente de atrito no ponto B, podemos escrever a força de atrito FB como

F B = μ N B

F B = 0.40 N B                     ( 1 )

Passo 2

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, podemos escrever a força de reação NB como função do peso W

∑ F y = 0

N B cos ⁡ θ + F B sin ⁡ θ - W = 0

Podemos substituir FB por 0,40NB

N B cos ⁡ θ + 0.40 N B sin ⁡ θ - W = 0

N B cos ⁡ θ + 0.40 sin ⁡ θ - W = 0

Agora podemos expressar NB como

N B = W cos ⁡ θ + 0.40 sin ⁡ θ                     ( 2 )

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos escrever a força de reação NA como função do peso W

∑ F x = 0

N A + N B sin ⁡ θ - F B cos ⁡ θ = 0

Primeiro, substituiremos o FB por 0,40NB

N A + N B sin ⁡ θ - 0.40 N B cos ⁡ θ = 0

N A + N B sin ⁡ θ - 0.40 cos ⁡ θ = 0

Passo 3

A seguir, vamos substituir NB pela expressão (2)

N A + W cos ⁡ θ + 0.40 sin ⁡ θ sin ⁡ θ - 0.40 cos ⁡ θ = 0

A partir daqui, podemos escrever NA como

N A = W 0.40 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 0.40 sin ⁡ θ                     ( 3 )

Ao igualar a soma dos momentos sobre o ponto B a zero, também podemos escrever a força de reação NA como função do peso W

∑ M B = 0

N A ∙ y - A B - W ∙ x - B C = 0

N A ∙ y - A B = W ∙ x - B C

Podemos escrever NA como

N A = W ∙ x - B C y - A B                     ( 4 )

Passo 4

Usando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância vertical entre os pontos A e B

y - A B = L 2 - L 2 cos ⁡ θ 2

y - A B = L 2 - L 2 4 cos 2 ⁡ θ

y - A B = L 1 - cos 2 θ 4                     ( 5 )

Embora usando a similaridade dos triângulos Δ OBA e Δ CBG e sabendo que G é o ponto médio da linha AB, podemos dizer que o ponto C é o ponto médio da linha OB, ou seja, que a distância horizontal entre os pontos B e C é

x - B C = 1 2 ∙ L 2 cos ⁡ θ

x - B C = 1 4 cos ⁡ θ                     ( 6 )

Podemos substituir x - B C e y - A B na expressão (4) pelas expressões (6) e (5), respectivamente

N A = W ∙ L cos ⁡ θ 4 L 1 - cos 2 θ 4

N A = W cos ⁡ θ 16 - 4   cos 2 θ                   ( 7 )

Passo 5

Observe que o ângulo máximo θ permitido é

uma vez que a parede irá impedir a rotação adicional da haste AB

Olhando para as equações (3) e (7), podemos notar que existem apenas duas incógnitas NA e θ nelas

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), representaremos as equações (3) e (7) no intervalo 0 ≤ θ ≤ 90 ° e leremos o ângulo θ que satisfaz ambas as equações do ponto de intersecção

Podemos ver que o ângulo θ em que o deslizamento começa é

θ = 5.803 °

Resposta

θ = 5.803 °

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