Enunciado

O pino P está ligado a haste BC e desliza livremente ao longo da ranhura existente na haste AO. Determine a taxa de variação θ ˙ do ângulo θ , sabendo que BC se move com velocidade escalar constante v0. Expresse sua resposta em termos de v0, h, β e θ .

Passo 1

E ai gurizada tudo certinho? determine a taxa de variação θ ˙ do ângulo θ , sabendo que BC se move com velocidade escalar constante v0. Expresse sua resposta em termos de v0, h, β e θ .

Do diagrama

r sin ⁡ 90 ° - β = h sin ⁡ β + θ

ou

r sin ⁡ β cos ⁡ θ + cos ⁡ β sin ⁡ θ = h cos ⁡ β

ou

r = h tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

Além disso,

v θ = v 0 sin ⁡ β + θ             o n d e             v θ = r θ ˙

Então

h θ ˙ tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ = v 0 sin ⁡ β cos ⁡ θ + cos ⁡ β sin ⁡ θ

Passo 2

Solução alternativa.

r = h tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

r ˙ = h tan ⁡ β sin ⁡ θ - cos ⁡ θ ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2

Agora

v 0 2 = v r 2 + v 0 2 = ( r ˙ ) 2 + ( r θ ˙ ) 2

v 0 2 = h θ ˙ tan ⁡ β sin ⁡ θ - cos ⁡ θ ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2 2

+ h θ ˙ tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

ou

v 0 = ± h θ ˙ tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

+ ( tan ⁡ β sin ⁡ θ - cos ⁡ θ ) 2 ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2 + 1 1 / 2

= ± h θ ˙ tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ tan 2   β + 1 ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2 1 / 2

Observe que à medida que o aumenta, o membro BC se move na direção indicada. Assim, a raiz positiva é escolhida.

Resposta

θ ˙ = v 0 cos ⁡ β h ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2

θ ˙ = v 0 cos ⁡ β h ( tan ⁡ β cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) 2

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