Enunciado

Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal circular.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é esboçar a região de interesse e o elemento infinitesimal que iremos utilizar para integrar na equação 4.66, sendo assim, teremos:

Beleza! Da figura acima, conseguimos escrever a largura da seção hachurada em função do raio c e do ângulo β :

w = 2 c s e n β

Agora vamos escrever o raio da seção hachurada, que será dado por:

r = r - - c c o s   β

Derivando essa expressão dos dois lados para poder encontrar dr, chegamos em:

d r = c s e n β d β

Agora então, podemos escrever a área da seção hachurada na forma diferencial, dada por:

d A = w d r

Substituindo as expressões encontradas para w e d r , chegamos em:

d A = 2 c s e n β c s e n β d β → d A = 2 c 2 s e n 2 β d β

Passo 2

Agora, nós sabemos que a equação 4.66 apresentada nesse capítulo tem a seguinte forma:

R = A ∫ d A r

Substituindo as expressões conhecidas, a equação acima se torna:

R = π c 2 ∫ 0 π 2 c 2 s e n 2 β r - - c c o s β d β

Agora, sabendo da relação trigonométrica fundamental que:

s e n 2 β + cos 2 ⁡ β = 1 → s e n 2 β = 1 - cos 2 ⁡ β

Substituindo essa expressão na equação de cima, teremos:

R = π c 2 2 ∫ 0 π c 2 1 - cos 2 ⁡ β r - - c c o s β d β = π c 2 2 ∫ 0 π c 2 - c 2 cos 2 ⁡ β r - - c c o s β d β

Agora nós vamos usar a estratégia de somar zero no numerador da integral utilizando o termo r - 2 , então, fazendo isso, a equação acima se torna:

R = π c 2 2 ∫ 0 π   r - 2 -   r - 2 + c 2 - c 2 cos 2 ⁡ β r - - c c o s β d β

Agrupando os termos, teremos:

R = π c 2 2 ∫ 0 π   r - 2 -   c 2 cos 2 ⁡ β - r - 2 + c 2 r - - c c o s β d β = π c 2 2 ∫ 0 π   r - 2 -   c 2 cos 2 ⁡ β - r - 2 - c 2 r - - c c o s β d β

Passo 3

Agora nós vamos escrever os dois primeiros termos do numerador da integral em forma de produto, chegando em:

R = π c 2 2 ∫ 0 π r - - c c o s β r - + c c o s β -   r - 2 - c 2 r - - c c o s β d β

Separando em duas integrais, teremos:

R = π c 2 2 ∫ 0 π r - - c c o s β r - + c c o s β r - - c c o s β d β - 2 ∫ 0 π   r - 2 - c 2 r - - c c o s β d β

R = π c 2 2 ∫ 0 π r - + c c o s β d β - 2 r - 2 - c 2 ∫ 0 π   d β r - - c c o s β

Agora, resolvendo as integrais, chegaremos nas seguintes expressões para os limites de integração:

R = π c 2 2 r - β + c s e n β 0 π - 2 r - 2 - c 2 . 2 r - 2 - c 2 t g - 1 r - 2 - c 2 t g β 2 r - + c 0 π

Substituindo os limites de integração, chegamos em:

R = π c 2 2 r - π + c s e n π - r - ( 0 ) + c s e n 0 - 2 r - 2 - c 2 . 2 r - 2 - c 2 t g - 1 r - 2 - c 2 t g π 2 r - + c - r - 2 - c 2 t g 0 2 r - + c

Passo 4

Agora, simplificando a expressão obtida no final do passo 3, teremos:

R = π c 2 2 r - π + 0 - 0 - 2 r - 2 - c 2 . 2 r - 2 - c 2 π 2 - 0

R = π c 2 2 π r - - 2 π r - 2 - c 2 r - 2 - c 2 = π c 2 2 π r - - 2 π r - 2 - c 2

Colocando π em evidência, temos:

R = π c 2 π 2 r - - 2 r - 2 - c 2 = c 2 2 r - - 2 r - 2 - c 2

Agora vamos multiplicar a equação em cima e embaixo pelo conjugado do denominador, ou seja:

R = c 2 2 r - - 2 r - 2 - c 2 . 2 r - + 2 r - 2 - c 2 2 r - + 2 r - 2 - c 2 = c 2 2 r - + 2 r - 2 - c 2 4 r - 2 - 4 r - 2 - c 2

R = c 2 2 r - + 2 r - 2 - c 2 c 2 = 2 r - + 2 r - 2 - c 2

Estamos quase lá! Agora só falta colocar o 1/2 em evidência, para chegar na forma que queremos, fazendo isso então, temos:

R = 1 2 r - + r - 2 - c 2

Ufa! Essa é a equação que queríamos encontrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga curva e o carregamento indicados na figura, determine a tensão no (a) ponto A e (b) ponto B.
Para o gancho de guindaste mostrado na figura, determine a maior tensão de tração na seção a-a.
Sabendo que o componente de máquina mostrado na figura tem uma seção transversal trapezoidal com a = 88,9m m e b = 63,5m m , determine a tensão no (a) ponto A e (b) ponto B.
Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal triangular.