Enunciado

Uma placa de sinalização de uma auto-estrada, medindo 4   m por 2   m , é sustentada por um único poste, como mostrado. A placa, estrutura de suporte e o poste, juntos, tem uma massa de 300   k g , tendo centro de massa localizado a 3,3   m da linha de centro vertical do poste. Quando a placa é submetida diretamente a uma lufada de vento de 125   k m / h , uma diferença de pressão média de 700   P a é desenvolvida entre as faces dianteira e traseira daplaca. Determine os módulos da força e do momento de reação na base do poste. Tais resultados seriam necessários no projeto da base.

Passo 1

Podemos calcular a força resultante R na base do poste apenas considerando a condição de equilíbrio das forças.

Vamos dizer que a força R agindo na base tem três componentes: R x , R y e R z . Além dessas, quais outras forças atuam sobre o sistema? Temos o peso P atuando no sentido negativo do eixo z e a força F P associada à diferença de pressão atuando no sentido positivo do eixo y :

F P = p A

F P = 700 4 2 = 5600   N

E agora é só exigir o equilíbrio das forças em cada direção.

∑ F x = R x = 0

∑ F y = R y + F P = 0         ⇒         R y = - 5600   N

∑ F z = R z - P         ⇒           R z = 300 9,81 = 2943   N

E então o módulo da força R atuando na base do poste é:

R = R x 2 + R y 2 + R z 2

R = 5600 2 + 2943 2 = 6,33   k N

Passo 2

Agora vamos analisar o equilíbrio dos momentos para achar o momento de reação na base do poste:

∑ M O = 0

∑ M O = r → 1 × F → p + r → 2 × P → + M → = 0

E as posições dos pontos onde as forças F → P e P → agem são iguais (no centro da placa, segundo o enunciado):

r → 1 = r → 2 = r → = - 1,3 + 4 2   i ^ + 4,7 + 2 2 k ^

r → = - 3,3   i ^ + 5,7   k ^   m

E o vetor M → do momento na base é:

M → = M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^

E a soma das forças:

F → P + P → = F P   j ^ - m g k ^

F → P + P → = 5600   j ^ - 2943   k ^

Passo 3

Agora é só substituir tudo isso na equação principal:

∑ M O = r → × F → P + P → + M → = 0

- 3,3   i ^ + 5,7   k ^ × 5600   j ^ - 2943   k ^ + M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^ = 0

M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^ = - - 3,3   i ^ + 5,7   k ^ × 5600   j ^ - 2943   k ^

E vamos escrever esse produto vetorial como um determinante:

M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^ = - i ^ j ^ k ^ - 3,3 0 5,7 0 5600 - 2943

M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^ = - 5600 - 3,3 k ^ - 5,7 5600 i ^ - - 3,3 - 2943 j ^

M x   i ^ + M y   j ^ + M z k ^ = 184 8 0   k ^ + 31920   i ^ + 9712   j ^

Agora podemos calcular o módulo desse momento:

M → = 184 8 0 2 + 31920 2 + 9712 2

M → = 38   1 40   N   m ≅ 3,81 4   k N   m

Resposta

O módulo da força é R = 6,33   k N e o do momento é 3,81 4   k N   m .

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