Enunciado

A esfera lisa e homogênea repousa na cantoneira de 120 ° e se apoia contra a placa, que é normal à direção da cantoneira. Determine o ângulo  θ , medido a partir da horizontal, para o qual a reação em cada lado da cantoneira é igual à força suportada pela extremidade da placa.

Passo 1

Primeiro precisamos entender o que o ângulo θ tem a ver com a força suportada pela placa e pela canaleta. Imagine que o ângulo fosse 0 ° . Nesse caso, o suporte estaria na horizontal, e não haveria força contra a parede. Então beleza, já entendemos que θ controla a distribuição de forças entre a canaleta e a parede. Vamos dar nome à essas forças e determinar os eixos e os ângulos

Passo 2

Ok, agora podemos começar a aplicar equações de equilíbrio. Vamos considerar o equilíbrio das forças em cada direção

∑ F x = ∑ F y = 0

Dê uma olhada no nosso desenho para descrever as expressões para as forças em cada direção

∑ F x = N 1 ⋅ s e n 30 ° - N 2 ⋅ s e n 30 ° - P ⋅ s e n θ + F = 0

∑ F y = N 1 ⋅ c o s 30 ° + N 2 ⋅ c o s 30 ° - P ⋅ c o s θ = 0

Lembre que estamos procurando o caso em que as forças nos dois lados da canaleta e na placa são iguais, então, vamos chamar tudo por um mesmo nome

N 1 = N 2 = F = X

E ficamos com o seguinte sistema

X ⋅ s e n 30 ° - X ⋅ s e n 30 ° - P ⋅ s e n θ + X = 0 X ⋅ c o s 30 ° - X ⋅ c o s 30 ° - P ⋅ c o s θ = 0

Simplificando ficamos com

- P ⋅ s e n θ + X = 0 2 X ⋅ c o s 30 ° - P ⋅ c o s θ = 0

P ⋅ s e n θ = X 2 X ⋅ c o s 30 ° = P ⋅ c o s θ

Dividindo uma equação pela outra vamos ter

P ⋅ s e n θ P ⋅ cos ⁡ θ = X 2 X ⋅ cos ⁡ 30 °

tan ⁡ θ = 1 3 → θ = 30 °

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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