Enunciado

O plano vertical pelo qual passa o cabo de eletricidade gira de 30 ° no poste vertical O C . As forças trativas T 1 e T 2 valem ambas 950   N . Para prevenir inclinação do poste com o passar do tempo, os cabos de amarração A D e B E são usados. Se os dois cabos são ajustados para suportar forças trativas iguais T , as quais, em conjunto, reduzem a zero o momento em O , determine a força de reação horizontal resultante em O . Determine o valor necessário de T . Despreze o peso do poste.

Passo 1

Olhando para a figura, vamos começar escrevendo todas as quatro trações em forma vetorial. Perceba que em alguns casos vamos ter que projetar o vetor duas vezes seguidas:

T → 1 = 950   - sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 10 °   i ^ + cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 10 °   j ^ - sen ⁡ 10 °   k ^   N

T → 2 = 950   - cos ⁡ 10 °   j ^ - sen ⁡ 10 °   k ^ N

E para as outras duas forças vamos ter que multiplicar um único escalar T (já que as duas forças são iguais) pelos vetores unitários nas direções de A D e B E :

T → A D = T 8 cos ⁡ 15 °   i ^ + 8 sen ⁡ 15 ° - 9   k ^ 8 cos ⁡ 15 ° 2 + 8 sen ⁡ 15 ° 2 + 81 = T 0,642   i ^ + 0,172   j ^ - 0,747   k ^

T → B E = T 10 cos ⁡ 15 °   i ^ + 10 sen ⁡ 15 ° - 11   k ^ 10 cos ⁡ 15 ° 2 + 10 sen ⁡ 15 ° 2 + 121 = T 0,650   i ^ + 0,174   j ^ - 0,740   k ^

Passo 2

Queremos usar a condição de equilíbrio dos momentos em relação à origem. Mas para isso vamos precisar escrever também os vetores-posição dos pontos de aplicação de cada uma das forças.

Para as duas trações T → 1 e T → 2 temos um mesmo vetor   r → :

r → = O C - k ^ = 13   k ^   m

E agora para as outras duas (é mais fácil tomar os pontos de aplicação como estando sobre o mastro, mas qualquer ponto na linha de ação da força vai servir):

r → O A = 9   k ^   m

r → O B = 11   k ^   m

Passo 3

Agora sim, podemos aplicar a condição de equilíbrio dos momentos:

∑ M → O = 0

r → × T → 1 + T → 2 + r → O A × T → A D + r → O B × T → B E = 0

E a grande vantagem de usar a origem é que possíveis momentos agindo em O não aparecem na equação.

Agora vamos calcular cada um desses produtos vetoriais:

T → 1 + T → 2 = - 0,4678   i ^ - 0,1253   j ^ - 0,3300   k ^   k N

r → × T → 1 + T → 2 = 13   k ^ × - 0,4678   i ^ - 0,1253   j ^ - 0,3300   k ^ = 1,629   i ^ - 6,081   j ^

r → O A × T → A D = 9   k ^ × T 0,642   i ^ + 0,172   j ^ - 0,747   k ^ = T - 1,548   i ^ + 5,778   j ^

r → O B × T → B E = 11   k ^ × T 0,650   i ^ + 0,174   j ^ - 0,740   k ^ = T - 1,914   i ^ + 7,15   j ^

E basta considerar uma única componente para encontrar o valor de T . Vamos usar a componente x , por exemplo:

1,629 - 1,548 T - 1,914 T = 0

1,629 - 3,462   T = 0

T = 0,471   k N

Passo 4

Agora falta encontrar a força de reação horizontal em O . Uma vez que já conhecemos todas as trações isso fica bem mais fácil.

Vamos considerar o equilíbrio das forças no eixo x . As expressões vetoriais que nós escremos nos passos anteriores podem ser bem úteis para isso:

∑ F x = - 0,4678 + 0,642   0,471 + 0,650   0,471 + O x = 0

O x = - 0,140   k N

E fazendo a mesma coisa para o eixo y :

∑ F y = - 0,1253 + 0,172   0,471 + 0,174   0,471 + O y = 0

O y = - 0,0376   k N

E agora podemos calcular o módulo da força:

O = O x 2 + O y 2 = 0,140 2 + 0,0376 2 = 0,1449   k N

Resposta

As forças são T = 0,471   k N e O = 0,1449   k N .

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