Enunciado

Sabendo que a tensão no cabo AC do sistema descrito no Problema 2.123 é 150 N, determine ( a ) a intensidade da força P, ( b ) o peso W do recipiente.

Passo 1

Antes de começar o exercício, o enunciado nos disse que a tensão é a mesma em todas as porções do cabo FBAD, então, temos que as tensões são:

T A B = T A D = T B F

Só que a tensão T B F é igual a força P aplicada na ponta desse cabo, então:

T B F = P → T A B = T A D = T B F = P

Podemos escrever o somatório de forças no ponto A como:

∑ F → A = 0

T → A B + T → A C + T → A D + T → A E - W j → = 0

Agora precisamos escrever os vetores tensão em termos de suas coordenadas, para isso, precisamos primeiro escrever o vetor que liga esses pontos, então:

A B → = - 0,78 i → + 1,6 j → - 0 k →

A C → = 0 i → + 1,6 j → + 1,2 k →

A D → = 1,3 i → + 1,6 j → + 0,4 k →

A E → = - 0,4 i → + 1,6 j → - 0,86 k →

Agora, calculando o módulo desses vetores:

A B = - 0,78 2 + 1,6 2 + 0 2 → A B = 1,78   m

A C = 0 2 + 1,6 2 + 1,2 2 → A C = 2   m

A D = 1,3 2 + 1,6 2 + 0,4 2 → A D = 2,1   m

A E = - 0,4 2 + 1,6 2 + - 0,86 2 → A E = 1,86   m

Agora podemos escrever os vetores tensão como:

T → A B = T A B . A B → A B = T A B - 0,438 i → + 0,899 j → + 0 k →

T → A C = T A C . A C → A C = T A C 0 i → + 0,8 j → + 0,6 k →

T → A D = T A D . A D → A D = T A D 0,619 i → + 0,762 j → + 0,191 k →

T → A E = T A E . A E → A E = T A E - 0,215 i → + 0,860 j → - 0,462 k →

Passo 2

Agora substituindo os valores das tensões na equação de equilíbrio de forças do passo 1, temos:

T A B - 0,438 i → + 0,899 j → + 0 k → + T A C 0 i → + 0,8 j → + 0,6 k → + T A D 0,619 i → + 0,762 j → + 0,191 k → + T A E - 0,215 i → + 0,860 j → - 0,462 k → - W j → = 0

Agora vamos separar as componentes i → ,   j → e k → :

- 0,438 T A B + 0,619 T A D - 0,215 T A E = 0

0,899 T A B + 0,8 T A C + 0,762 T A D + 0,860 T A E - W = 0

0,6 T A C + 0,191 T A D - 0,462 T A E = 0

Agora, substituindo o valor de T A C dado no enunciado, e sabendo que T A B = T A D = P , as equações se tornam:

- 0,438 P + 0,619 P - 0,215 T A E = 0

0,899 P + 120 + 0,762 P + 0,860 T A E - W = 0

90 + 0,191 P - 0,462 T A E = 0

Passo 3

Agora, isolando T A E da terceira equação:

T A E = 0,413 P + 194,8

E, susbtituindo esse valor na equação 1:

- 0,438 P + 0,619 P - 0,215 0,413 P + 194,8 = 0 → P = 454,2   N

Substituindo esse valor na expressão encontrada para T A E :

T A E = 0,413 454,2 + 194,8 → T A E = 382,4   N

Substituindo os valores encontrados na segunda equação do passo 2, temos:

0,899 454,2 + 120 + 0,762 454,2 + 0,860 382,4 - W = 0 → W = 1203,3   N

Resposta

W = 1203,3   N

P = 454,2   N

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