Enunciado

O pólo esbelto uniforme repousa contra um pequeno rolo em B. A extremidade A não escorregará na superfície horizontal se o coeficiente de atrito estático μs for suficientemente grande. (a) Determine o valor mínimo necessário de μs para evitar o escorregamento de qualquer valor de θ de θ = 0 para θ = 60∘ e plote μs versus θ. A partir desses resultados, encontre a faixa de θ para a qual o pólo será instável se μs = 0,40. (B) Em que ângulo θ é o pólo mais instável e qual é o menor coeficiente de atrito estático μs que seria necessário para evitar o escorregamento para este ângulo?

Passo 1

Primeiro, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre da haste AB

Podemos assumir com segurança que o ângulo θ será máximo quando a força de atrito FB for máxima

Conhecendo o coeficiente de atrito no ponto B, podemos escrever a força de atrito FB como

F B = μ N B F B = 0.40 N B (1)

Passo 2

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, podemos escrever a força de reação NB como função do peso W

∑   F y   = 0 N B c o s ⁡ θ + F B s i n ⁡ θ - W = 0

Substituiremos F B por 0.40   N B

N B c o s ⁡ θ + 0.40 N B s i n ⁡ θ - W = 0

N B ( c o s ⁡ θ + 0.40 s i n ⁡ θ ) - W = 0

Expressaremos N B como

N B = W c o s ⁡ θ + 0.40 s i n ⁡ θ (2)

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos escrever a força de reação NA como função do peso W

∑   F x   = 0 N A + N B s i n ⁡ θ - F B c o s ⁡ θ = 0

Substituiremos F B por 0.40 N B

N A + N B s i n ⁡ θ - 0.40 N B c o s ⁡ θ = 0

N A + N B ( s i n ⁡ θ - 0.40 c o s ⁡ θ ) = 0

Substituiremos N B pela expressão (2)

N A + W c o s ⁡ θ + 0.40 s i n ⁡ θ ( s i n ⁡ θ - 0.40 c o s ⁡ θ ) = 0

A partir daqui escreveremos N A como

N A = W ( 0.40 c o s ⁡ θ - s i n ⁡ θ ) c o s ⁡ θ + 0.40 s i n ⁡ θ (3)

Passo 3

Ao igualar a soma dos momentos sobre o ponto B a zero, também podemos escrever a força de reação NA ns função do peso W

∑   M B   = 0 N A ⋅ y ‾ A B - W ⋅ x ‾ B C = 0 N A ⋅ y ‾ A B = W ⋅ x ‾ B C

Escreveremos N A como

N A = W ⋅ x ‾ B C y ‾ A B (4)

Passo 4

Usando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância vertical entre os pontos A e B

y ‾ A B   = L 2 - L 2 c o s ⁡ θ 2 y ‾ A B   = L 2 - L 2 4 c o s 2 ⁡ θ y ‾ A B   = L 1 - c o s 2 ⁡ θ 4 (5)

Embora usando a similaridade dos triângulos △ OBA e △ CBG e sabendo que G é o ponto médio da linha AB, podemos dizer que o ponto C é o ponto médio da linha OB. ou seja, a distância horizontal entre os pontos B e C é

x ‾ B C = 1 2 ⋅ L 2 c o s ⁡ θ x ‾ B C = L 4 c o s ⁡ θ (6)

Substituiremos x ‾ B C e y ‾ A B na expressão (4) pelas expressões (6) e (5). respectivamente

N A = W ⋅ L c o s ⁡ θ 4 L 1 - c o s 2 ⁡ θ 4   N A = W c o s ⁡ θ 16 - 4 c o s 2 ⁡ θ (7)

Observe que o ângulo máximo θ permitido é

θ = 90 ∘

uma vez que a parede irá impedir a rotação adicional da haste AB

Passo 5

Olhando para as equações (3) e (7), podemos notar que existem apenas duas incógnitas NA e θ nelas

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente as equações

(3) e (7) ao longo do intervalo 0 ≤ θ ≤ 90 ∘ e e leremos o ângulo θ que satisfaz ambas as equações do ponto de intersecção

Podemos ver que o ângulo θ no qual o slippoge começa é

θ = 5.803 ∘

Resposta

θ = 5.803 ∘

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