Enunciado

80. A porta circular tem peso de 275   N e centro de gravidade em G . Determine as componentes x ,   y ,   z da reação na dobradiça em A e a força que age ao longo da estrutura C B necessária para manter a porta em equilíbrio. Considere θ = 45 ° .

Passo 1

Primeiro temos que avaliar que tipos de conexões temos nessa situação, nesse caso é uma dobradiça, segundo a tabela 5.2 do capítulo 5 , seção 5.5 , esse tipo de conexão por dobradiça exerce força nas três direções dos eixos coordenados e momento em dois eixos.

Abaixo temos um diagrama de corpo livre que vai nos ajudar a ver o que está acontecendo.

Agora só temos que aplicar as equações de equilíbrio para achar as forças que queremos.

O macete é sempre começar com as equações que te oferecem menos incógnitas.

Para determinar a força ao longo de C B nessa situação, será melhor expressá-la na forma vetorial, nessa forma teremos as componentes da força do membro, podendo assim usar as equações de equilíbrio para cada direção com a componente adequada da força.

Para expressar essa força, precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que a força.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de B C é:

u → = 0,9 sin ⁡ 45 ° i + 0,9 + 0,9 cos ⁡ 45 ° j + 1,8 k 6,005

u → = { 0 , 259 i + 0 , 6 27 j + 0,734 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração da corda B D :

F C B → = F C B u →

= 0,259 F C B i + 0,627 F C B j + 0,734 F C B k

Passo 2

Para encontrarmos o valor de F C B , vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a x

∑ M x = 0

- 275 0,9 + 0,734 F C B 0,9 + 0,9 cos ⁡ 45 ° = 0

⇒ 1,13 F C B = 247,5

⇒ F C B = 219,03   N

Passo 3

Agora vamos achar as forças que a dobradiça exerce a parti da equação equilíbrio referente a força em relação aos eixos.

∑ F x = 0

A x + 0,259 F C B = 0

⇒ A x = - 0,259 F C B

⇒ A x = - 56,72   N

∑ F y = 0

A y + 0,627 F C B = 0

⇒ A y = - 0,627 F C B

⇒ A y = - 137,33   N

∑ F z = 0

A z - 275 + 0,734 F C B = 0

⇒ A z = 275 - 0,734 F C B

⇒ A z = 114 , 23   N

Passo 4

Agora vamos descobrir os momentos exercidos pela dobradiça a parti das equações de equilíbrio referentes ao momento em relação aos eixos y e z .

∑ M y = 0

M A y - 0,734 F C B 0,9 sin ⁡ 45 ° = 0

⇒ M A y - 102 , 31 = 0

⇒ M A y = 102 , 31   N ⋅ m

∑ M z = 0

M A z - 0,259 F C B 0,9 + 0,9 cos ⁡ 45 ° + 0,627 F C B 0,9 sin ⁡ 45 ° = 0

⇒ M A z - 87,16 + 87,16 = 0

⇒ M A z = 0

Resposta

A x = - 56,72   N

A y = - 137,33   N

A z = 114,23   N

M A y = 102,31   N ⋅ m

M A z = 0

F C B = 219,03   N

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