Enunciado

Solucione o Problema 13.99 no instante theta = 60 ° .

Passo 1

O Problema 13.99 nos deu as seguintes informações:

Massa de partícula: m = 1 k g

Velocidade: overset(˙)(theta) = 0,5 r a d // s

Trajetória horizontal.

A questão pede para determinarmos a força exercida pelo garfo sobre a partícula no instante em que theta = 60 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal e F é a força exercida pela barra.

Passo 2

Sabemos que a trajetória é definida por

r = 0,3 (2 + cos theta)

Portanto, as derivadas temporais em r são:

overset(˙)(r) = (d r)/(d t) = - 0,3 overset(˙)(theta) sen theta m // s

overset(¨)(r) = (d^2 r)/(d t^2) = - 0,3 overset(˙)(theta)^2 cos theta - 0,3 overset(¨)(theta) sen theta m // s^2

Como nos foi dito que overset(˙)(theta) = 0,5 r a d // s para todo instante, logo overset(˙)(theta) é constante e overset(¨)(theta) = 0 r a d // s^2 .

Para theta = 60 ° :

r = 0,75 m

overset(˙)(r) = (d r)/(d t) = - 0,13 m // s

overset(¨)(r) = (d^2 r)/(d t^2) = - 0,038 m // s^2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e theta são dadas por

a_r = overset(¨)(r) - r overset(˙)(theta)^2

a_theta = r overset(¨)(theta) + 2 overset(˙)(r) overset(˙)(theta)

Logo,

a_r = - 0,6 ( 0,5^2 ) = - 0,225 m // s^2

a_theta = + 2 ( - 0,15 ) ( 0,5 ) = - 0,13 m // s^2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal N é aplicada à partícula.

Visto que a trajetória já está especificada, o ângulo psi que a linha radial deformada r forma com a tangente pode ser determinado pela equação

tan psi = (r)/(d r // d theta)

Temos que r = 0,3 (2 + cos theta) , logo

(d r)/(d theta) = - 0,3 sen theta

Portanto, para theta = 60 ° , temos que

tan psi = (r)/((d r)/(d theta)) = (0,3 (2 + cos theta))/(- 0,3 sen theta) = - 2,89

psi = - 70,89 °

N atua perpendicular à tangente à curva em theta = 60 ° . Logo, o ângulo alpha entre a força N e o eixo r é igual à

alpha = 90 ° - psi = 19,11 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

sum F_r = m a_r

N cos alpha = m a_r

N cos 19,11 ° = ( 1 ) (- 0,225)

N = - 0,238 N

Analisando no eixo theta , temos que

sum F_theta = m a_theta

F + N sen alpha = m a_theta

F = (1) (- 0,13) - (- 0,238) sen 19,11 °

F = - 0,052 N

O sinal negativo de N e F indicam que estas forças estão agindo na mesma direção, porém no sentido contrário ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Resposta

F = - 0,052 N

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