Enunciado

Uma lata lisa de 0,75 kg é guiada ao longo da trajetória circular usando o braço-guia. Se o branço tem velocidade angular θ ˙ = 2   r a d / s e a aceleração angular θ ¨ = 0 , 4   r a d / s 2 no instante que θ = 30 ° , determine a força do braço sobre a lata. O movimento ocorre no plano horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da lata: m = 0,75   k g

Velocidade angular do braço: θ ˙ = 2   r a d / s

Aceleração angular: θ ¨ = 0 , 4   r a d / s 2

Trajetória no plano horizontal.

A questão pede para determinar a força exercida pelo braço sobre a lata no instante em que θ = 30 ° .

Desenhamos o diagrama de corpo livre da lata.

Onde N é a força normal exercida pelo contanto da lata com a parede e F é a força exercida pela barra.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio 0,5m, a direção de N será a mesma do raio deste semi círculo.

Passo 2

Da figura fornecida, vemos que r pode ser relacionada a θ pela equação

r = ( 0,5 + 0,5 ) cos ⁡ θ

r = cos ⁡ θ

Portanto, as derivadas temporais em r são:

r ˙ = d r d t = - θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - θ ˙ 2 cos ⁡ θ - θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Para   θ = 30 ° :

θ ˙ = 2   r a d / s

θ ¨ = 0 , 4   r a d / s 2

r = 0,866   m

r ˙ = d r d t = - 1   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 3,66   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 5,4641 - 0,866 ( 2 2 ) = - 7,13   m / s 2

a θ = 0,866 0 , 4 + 2 - 1 2 = - 3,65   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada ao cilindro.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde θ e α são os ângulos de base. Portanto,

θ = α = 30 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α = m a r

N cos ⁡ 30 ° = 0,75 ( - 7,13 )

N = - 6,17   N

O sinal negativo de N significa que o sentido em que a força está sendo aplicada é oposto ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F + N sen ⁡ α = m a θ

F = 0,75 - 3,65 - - 6,17 sen ⁡ 30 °

F = 0,35   N

Resposta

F = 0,35   N

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