Enunciado

A posição vertical do bloco de 100 kg é ajustada pela cunha ativada por parafuso. Calcule o momento M que deve ser aplicado ao cabo do parafuso para levantar o bloco. O parafuso de rosca única possui roscas quadradas com diâmetro médio de 30mm e avanços de 10 mm a cada volta completa. O coeficiente de atrito para as roscas do parafuso é 0,25 e o coeficiente de atrito para todas as superfícies de contato do bloco e da cunha é 0,40. Despreze o atrito na junta esférica A.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama do corpo livre

Peso do bloco é

W = m g W = 100 ⋅ 9.81 W = 981 N

Uma vez que ângulo de fricção ϕ A  e  ϕ B são

ϕ A = ϕ B = t a n - 1 ⁡ μ A ϕ A = ϕ B = t a n - 1 ⁡ ( 0.40 ) ϕ A = ϕ B = 21.80 ∘

Observe que, para que o bloco deslize, a cunha também precisa deslizar, portanto, ambas as forças de atrito em A e B são forças de atrito máximas

Passo 2

Ao igualar a soma das forças na direção-n a zero, podemos determinar a força de reação em A

∑ F n = 0

- W c o s ⁡ ϕ B + R A c o s ⁡ ϕ B + ϕ A + 10 ∘ = 0 - 981 c o s ⁡ 21.8 ∘ + R A c o s ⁡ 2 ⋅ 21.80 ∘ + 10 ∘ = 0 - 910.84 + 0.59342 R A = 0 R A = 910.84 0.59342 R A = 1534.90 N

A seguir, desenharemos o diagrama de corpo livre da cunha

Observe que o deslizamento ocorre simultaneamente em A e C

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a força RC

∑ F y = 0

R C c o s ⁡ ϕ A - R A c o s ⁡ ϕ A + 10 ∘ = 0 R C c o s ⁡ 21.80 ∘ - 1534.90 c o s ⁡ 21.80 ∘ + 10 ∘ = 0 R C = 1534.90 c o s ⁡ 31.80 ∘ cos ⁡ 21.80 ∘ R C = 1404.98 N

Finalmente, ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força P necessária para mover a roda

∑ F x = 0

R C s i n ⁡ ϕ A + R A s i n ⁡ ϕ A + 10 ∘ - P = 0 P = R C s i n ⁡ ϕ A + R A s i n ⁡ 10 ∘ + ϕ A P = 1404.98 s i n ⁡ 21.80 ∘ + 1534.90 s i n ⁡ 10 ∘ + 21.80 ∘ P = 1330.59 N

Passo 3

A equação de equilíbrio de momento do parafuso é

M = W ⋅ r t a n ⁡ ( α + ϕ ) (1)

Em que W é a força axial

W = P = 1330.59 N

R é o raio

r = 30 2 = 15 m m

α é o ângulo que a rosca faz com o eixo y, uma vez que a rosca se move 10 mm por revolução, e a circunferência de um círculo é 2rπ, podemos determinar α

α = t a n - 1 ⁡ 10 2 r π α = t a n - 1 ⁡ 10 2 ⋅ 15 π α = 6.06 ∘

Determinaremos o ângulo uma vez que conhecemos a força de fricção

θ = t a n - 1 ⁡ μ s θ = t a n - 1 ⁡ ( 0.25 ) θ = 14.04 ∘

Finalmente, colocando todos os valores conhecidos na equação (1), vamos determinar M

M = W ⋅ r tan ⁡ α + ϕ                                                                                                   ( 1 ) M = 1330.59 ⋅ 15 t a n ⁡ 6.06 ∘ + 14.04 ∘ M = 7304 N m m

M = 7.304 N m

Resposta

M = 7.304 N m

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