Enunciado

A posição vertical dos dois cilindros de 20   k g é controlada pelo momento M aplicado ao eixo central. Os cabos presos às extremidades dos braços passam por furos lisos em A e B , situados em uma superfície fixa. Faça um gráfico de M como função de θ desde θ = 0 ° até θ = 180 ° . Determine o valor máximo de M e o valor correspondente de θ . Considere g = 10   m / s 2 em seus cálculos.

Passo 1

Os cabos que passam pelos furos lisos transmitem o peso das massas de 20   k g para as extremidades dos braços:

Mas perceba que a componente P sen ⁡ β não é tangente ao círculo! E sabemos que o ângulo que a força forma com a direção tangente é θ / 2 , por isso a componente de P sen ⁡ β que é perpendicular aos braços é:

P ⊥ = P sen ⁡ β cos ⁡ θ 2

E então as duas forças formam um binário, separadas por uma distância 2 R , então:

M = 2 r P sen ⁡ β cos ⁡ θ 2

Passo 2

Mas queremos o momento apenas em função de θ , e então precisamos encontrar outra forma de representar sen ⁡ β .

Olhando para a imagem que desenhamos no passo 1 , vamos primeiro usar o teorema de pitágoras para encontrar o comprimento L da hipotenusa que passa por P :

L = 2 r sen ⁡ θ 2 2 + 0,300 2

E então sen ⁡ β segue a seguinte fórmula:

sen ⁡ β = 2 r sen ⁡ θ 2 L

Passo 3

Vamos substituir isso na equação para o momento:

M = 2 r P sen ⁡ β cos ⁡ θ 2

M = 2 r P 2 r sen ⁡ θ 2 2 r sen ⁡ θ 2 2 + 0,300 2 cos ⁡ θ 2

Agora perceba que r também é igual a 0,300 , então:

M = 2 r P 2 sen ⁡ θ 2 4 sen 2 ⁡ θ 2 + 1 cos ⁡ θ 2

E 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 = sen ⁡ θ :

M = 2 Pr ⁡ sen ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 2 + 1

P = ( 20 ) ( 10 )

M = 120   sen ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 2 + 1

E agora podemos representar isso em um gráfico:

E usando o mesmo gráfico podemos calcular o ponto máximo:

θ m á x = 67,5 °

M m á x = 74,2   N   m

Resposta

O valor máximo de M é 74,2   N m , que corresponde ao ângulo θ = 67,5 ° .

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