Enunciado

Ranhuras semicirculares de raio r devem ser fresadas nos lados de uma barra de aço, conforme mostra a figura. Usando uma tensão admissível de 8 k s i , determine o maior momento fletor que pode ser aplicado ao elemento quando o raio r das ranhuras semicirculares for:

  1. r = 3 / 8   i n
  2. r = 3 / 4   i n

Passo 1

Nesse caso queremos determinar o máximo momento que age na nossa estrutura, porém, precisamos notar que aqui estamos falando da um caso de concentração de tensões, e para casos de concentração de tensões, temos fórmulas especificas, dadas por:

σ = k M y I

E cada terminho desse é bem tranquilo de determinar, beleza? Então vamos lá.

Passo 2

Vamos então ir determinando cada termo antes de usarmos na nossa equação, assim, temos que:

  • Tensão admissível
  • Esse é bem tranquilo, já que o enunciado já nos dá a tensão, assim, temos que:

    σ = 8   k s i = 8 k i p i n 2

  • I (momento de inércia)

    Temos aqui duas seções, certo? Qual das duas usar? Pensa no seguinte, o momento vai ser o mesmo na seção maior e na seção menor, certo? Se ele fosse uma força(presta atenção, no caso ele não é, mas vamos supor que seja) se ele fosse uma força, onde surgiria a maior tensão? Na menor área ou na maior área? Pegou o esquema? Se queremos a MÁXIMA TENSÃO, temos que usar A MENOR SEÇÃO.

    Como ela é retangular, basta usarmos a seguinte fórmula:

    I = b h 3 12

    O valor de b é a espessura da nossa seção, e essa é comum ao item a) e b), assim teremos que:

    b = 3 4   i n

    Como a altura da nossa seção depende do raio de fresamento, teremos que:

    • Inercia do item A)
    • h = 4,5 - 2 × 3 8 = 3,75   i n

      I = 3 4 × 3,75 3 12 = 3,30   i n 4

    • Inercia do item B)
  • h = 4,5 - 2 × 3 4 = 3,0   i n

    I = 3 4 × 3,0 3 12 = 1,69   i n 4

  • Y

    Esse você nem vai acreditar, usamos a menor seção para a inércia, certo? Ou seja, se estamos na menor seção, o y é a metade da altura da menor seção, como a menor seção tem uma altura que depende do raio de fresamento teremos que:

    • Altura do item A)
    • h = 4,5 - 2 × 3 8 = 3,75   i n

      y = 1,875   i n

    • Altura do item B)
  • h = 4,5 - 2 × 3 4 = 3,0   i n

    y = 1,50   i n

    E veja só, agora só precisamos do valor de k , certo? Como o calculo dele é um pouquinho diferente, vamos determinar ele no próximo passo.

    Passo 3

    Para determinarmos o valor de k , precisamos de um diagrama que nos dá o coeficiente de concentração de tensões, e para esse tipo de seção, esse diagrama é dado por:

    E sabemos que a nossa seção é dada por:

  • Caso A)
  • Caso B)
  • E sabemos que temos um r para o item a) e para o item b), assim temos que:

  • A)
  • r d = 3 8 3,75 = 0,1

    D d = 4,5 3,75 = 1,2

    E assim olhando o nosso diagrama, teremos o seguinte k .

  • B)
  • r d = 3 4 3,00 = 0,25

    D d = 4,5 3,00 = 1,5

    E assim olhando o nosso diagrama, teremos o seguinte k .

    Passo 4

    Agora que temos tudo, podemos calcular as tensões máximas em cada um dos nossos itens, assim, teremos que:

  • A)
  • σ = k M y I

    8   k i p i n 2 = 2,07 M × 1,875   [ i n ] 3,30   [ i n 4 ]

    M = 6,80   k i p ∙ i n

  • B)

σ = k M y I

8   k i p i n 2 = 1,61 M × 1,50   [ i n ] 1,69   [ i n 4 ]

M = 5,59   k i p ∙ i n

Resposta

  1. M = 6,80   k i p ∙ i n
  2. M = 5,59   k i p ∙ i n
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