Enunciado

Um projétil é lançado a partir do ponto A com as condições iniciais mostradas na figura. Determine as coordenadas x e y do ponto de impacto.

Passo 1

Pessoal, como estamos trabalhando aqui principalmente com as dimensões x e y , e não velocidades ou tempos, será bastante útil desenvolvermos a equação da trajetória do projétil, que nos dá justamente sua posição y em função de sua posição x .

Começamos pela seguinte equação do movimento horizontal:

x = x 0 + v x t = x 0 + v 0 cos ⁡ θ t

t = x - x 0 v 0 cos ⁡ θ

Agora, a gente escreve a seguinte equação do movimento vertical:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = y 0 + v 0   s e n   θ t - 1 2 g t 2

Só resta substituir a expressão de t já encontrada:

y = y 0 + v 0   s e n   θ x - x 0 v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 2

y = y 0 + t g   θ x - x 0 - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 x - x 0 2

Nosso projétil é lançado da posição x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 com velocidade v 0 = 68   m / s e fazendo um ângulo θ = 30 ° com a horizontal, beleza? Vamos substituir esses valores na equação acima:

y = 0 + t g   30 ° x - 0 - ( 9,8 ) sec 2 ⁡ 30 ° 2 68 2 x - 0 2

y = 0,57735 x - 0,0014129 x 2

Então essa é a equação da trajetória, beleza?

Passo 2

Show! Como a gente quer as coordenadas do ponto de impacto, que provavelmente será em algum ponto do trajeto B C , podemos escrever uma equação de x e y que represente essa curva do trajeto.

Observe que B C é o quarto inferior direito de um círculo de raio 150   m . Então sua equação é assim:

x - x ' 2 + y - y ' 2 = 150 2

onde x ' ,   y ' = 300 ,   150 são as coordenadas do centro do círculo, já que consideramos o ponto A como a origem do nosso sistema de coordenadas quando fizemos x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 .

x - 300 2 + y - 150 2 = 22500

Passo 3

Finalmente, para achar o ponto de impacto, vamos calcular a intersecção entre as duas curvas, da trajetória do projétil e do trajeto B C . Perceba que na equação da trajetória já temos y isolado:

y = 0,57735 x - 0,0014129 x 2

Substituímos isso na equação da circunferência e desenvolvemos:

x - 300 2 + 0,57735 x - 0,0014129 x 2 - 150 2 = 22500

x 2 - 600 x + 90000 + 0,33333 x 2 + 0,00000 1996 x 4 - 0,00163 x 3 + 22500 - 173,205 x + 0,42387 x 2 = 22500

0,00000 1996 x 4 - 0,00163 x 3 + 1,7572 x 2 - 773,205 x + 90000 = 0

Como o auxílio de um computador para resolver essa equação do quarto grau, obtemos:

x ≈ 37 3                     o u                     x ≈ 181

Porém, devemos ter x ≥ 300   m , então x = 372   m . Substituímos esse valor em y :

y = 0,57735 ( 37 3 ) - 0,0014129 ( 37 3 ) 2

y = 1 8,8   m

Resposta

x ,   y = 37 3   m ,   1 8,8   m

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