Enunciado

Prove que se o bloco é solto do repouso no ponto B de uma trajetória lisa de formato arbitrário, a velocidade que ele alcança quando chega ao ponto A é igual à velocidade que ele alcança quando cai livremente de uma altura h ; ou seja, v = 2 g h .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes condições:

Bloco solto do repouso ( v B = 0 );

Trajetória lisa (força de resistência à tração F f pode ser desprezada);

Trajetória com formato arbitrário;

Velocidade em A igual a v A = v = 2 g h ;

∆ y = h .

Como o corpo está indo sentido ponto A, escolheu-se y B = 0 e y A = h .

Para mostrar que v A = v , inicialmente desenhamos o diagrama de corpo livre do bloco para uma trajetória qualquer usando a imagem fornercida pelo enunciado como referência.

Também sabemos que

W = M g

a n = v 2 ρ

a t = d v d t

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado, M é a massa do bloco e g é a aceleração gravitacional ( g = 9,81 m/s2).

Como a trajetória é aleatória, não temos dados suficientes para encontrar ρ e a n . Portanto iniciaremos nossa análise através de a t .

Passo 2

Primeiramente, vamos utilizar a Equação do Movimento no sentido do eixo tangencial.

∑ F t = m a t

M g sen ⁡ θ = M a t  

a t = g sen ⁡ θ

Sabemos que

a t = d v d t

Porém, também sabemos que

d v d t = d v d s d s d t = d v d s v

Onde d s é o espaço percorrido pelo bloco. Logo,

a t = d v d t = v d v d s

Igualandao os valores de a t , obtemos:

  v d v d s = g sen ⁡ θ

Passo 3

Agora iremos resolver a equação encontrada. Ela é uma EDO linear homogênea de 10 ordem e pode ser resolvida pelo método de equações separáveis.

  v d v d s = g sen ⁡ θ

  v d v = g sen ⁡ θ d s

Não conhecemos d s , portanto devemos relacionar este valor com algo que conhecemos. Neste caso, conhecemos a altura, portanto iremos relacionar d s com d y . Voltando no Diagrama de corpo livre, vemos a seguinte relação

Onde

sen ⁡ θ = d y d s

d y = sen ⁡ θ d s

Logo,

v d v = g sen ⁡ θ d s = g d y

Agora iremos resolver esta EDO

∫ v B = 0 v A v d v = ∫ 0 h g d y

v 2 2 0 v A = g h - g ( 0 )

v A 2 = 2 g h

v A = 2 g h = v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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