Enunciado

Os quadros articulados ACE e DFB são conectados por duas barras articuladas, AB e CD, que se cruzam sem serem conectadas. Calcule a força em AB.

Passo 1

Aqui temos quatro forças de reação, portanto não podemos determinar aquelas do diagrama de corpo livre, também temos mais de duas incógnitas agindo em cada junta e não podemos isolar uma parte de uma treliça com menos de quatro forças desconhecidas.

Passo 2

Mas se passarmos uma seção pelos membros AB e CD e analisarmos a parte da treliça à esquerda e à direita, teremos seis forças desconhecidas e seis equações.

No final, ao igualar a soma dos momentos sobre o ponto E a zero da parte esquerda e a soma dos momentos sobre o ponto F a zero da parte direita do truste, obteremos 2 equações com 2 incógnitas

Passo 3

Podemos ver que as coordenadas dos pontos A, B e C são

A 3 + 2 2 - 5 2 , 6.0

A 1.5 ,   6.0

B 5.0 ,   4.0

Distância entre A e B na direção x é

X A B = X B - X A = 5.0 - 1.5 = 3.5 m

Distância entre A e B na direção y é

Y A B = Y B - Y A = 4.0 - 6.0 = 2 m

Portanto, o ângulo que o membro AB machos com eixo X é

α = tan - 1 2.0 3.5

α = 29.74 °

Uma vez que a estrutura é simétrica, o membro CD fará o mesmo ângulo com o eixo x que o membro AB

Passo 4

Primeiro, vamos analisar a parte da treliça à esquerda

Vamos supor que todos os membros estão em tensão

∑ M E = 0

6 A B cos ⁡ α + 1.5 A B sin ⁡ α + 4 C D cos ⁡ α - 3 C D sin ⁡ α = 0

6 A B cos ⁡ 29.74 ° + 1.5 A B sin ⁡ 29.74 ° + 4 C D cos ⁡ 29.74 ° - 3 C D sin ⁡ 29.74 ° = 0

5.954 A B + 1.985 C D = 0

Podemos expressar a força AB em função de CD

A B = - 1.985 C D 5.954

A B = - 0.333 C D

Passo 5

Agora podemos analisar a parte da treliça à direita

∑ M F = 0

6 ∙ 10 - 4 A B cos ⁡ α + 3 A B sin ⁡ α - 6 C D cos ⁡ α - 1.5 C D sin ⁡ α = 0

60 - 4 A B cos ⁡ 29.74 ° + 3 A B sin ⁡ 29.74 ° - 6 C D cos ⁡ 29.74 ° - 1.5 C D sin ⁡ 29.74 ° = 0

60 - 1.985 A B - 5.984 C D = 0

Podemos substituir AB pela expressão (1)

60 - 1.985 - 0.333 C D - 5.984 C D = 0

60 - 5.323 C D = 0

C D = 60 5.323

C D = 11.27   kN

Passo 6

Finalmente, colocando o valor de CD na expressão (1), podemos determinar a força no membro AB

A B = - 0.333 C D                     ( 1 )

A B = - 0.333 ∙ 11.27

A B = - 3.75   kN

Passo 7

Como obtivemos resultado negativo, isso significa que o membro AB está em compressão

A B = 3.75   kN C

Resposta

A B = 3.75   kN C

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