Enunciado

Repita Prob. 6/109, só agora os coeficientes de atrito estático são os seguintes: 0,60 em A e C e 0,20 em B. Plote T/mg como uma função de y para 0 ≤ y ≤ 10 r , onde r é o raio comum de todos os três veios. Quais são os valores limites de T/mg para y = 0 e para grandes valores de y?

Passo 1

Como estamos tentando levantar o cilindro, sabemos que a tensão T é maior que o peso W, sabendo que o coeficiente de atrito não é igual para todas as superfícies, podemos escrever a expressão para a tensão T como

T = W ∙ e μ A β A + μ B β B + μ C β C

Desde a

μ A = μ C = 0.60

μ B = 0.20

Passo 2

E uma vez que sabemos que W = mg, podemos escrever a expressão acima como

T = m g ∙ e 0.60 β A + β C + 0.20 β B

No esboço abaixo, podemos ver que os ângulos β A , β B e β C são

β A β C = φ

β B = 90 ° - φ

β B = 0.5 π - φ

Passo 3

Portanto, a expressão para a tensão T agora será semelhante a esta

T = m g ∙ e 0.60 φ + φ + 0.20 0.5 π - φ

Também podemos escrever esta expressão como

T = m g ∙ e φ + 0.10 π                     ( 1 )

Passo 4

Uma vez que a linha FE é tangente a ambos os círculos, ABEF é um retângulo

Sabendo disso, sabemos que os lados dos ângulos φ e α são perpendiculares, o que significa que os ângulos são iguais

φ = α

Do triângulo Δ AOB podemos facilmente determinar o ângulo α , ou seja, o ângulo φ

φ = tan - 1 3 r y                     ( 2 )

Passo 5

Agora podemos substituir o ângulo φ na equação (1) pela expressão (2)

T = m g ∙ e tan - 1 3 r y + 0.10 π

Da expressão acima, podemos escrever T/mg como

T m g = e tan - 1 3 r y + 0.10 π

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos esta função

Podemos ver que o valor máximo é

T m g m a x = 6.586                     no                   y = 0

Embora o valor mínimo seja

T m g m i n = 1.832                     no                   y = 10 r

Resposta

T m g m a x = 6.586                     no                   y = 0

T m g m i n = 1.832                     no                   y = 10 r

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