Enunciado

Repita o Prob. 6/79, exceto que θ = 30 ° , μ s = 0,15 e μ k = 0,10 .

Imagem do Prob. 6/79:

Passo 1

Inicialmente, podemos simplesmente refazer os cálculos do problema anterior:

O diagrama das forças que agem sobre o cilindro fica da seguinte forma:

E então podemos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção:

∑ F x = - F + m g sen ⁡ 40 ° = m a

∑ F y = N - m g cos ⁡ 40 ° = 0

E podemos escrever também uma equação para os momentos em relação ao centro do cilindro:

∑ M G = I α

F r = 1 2 m r 2 α

Passo 2

E assim ficamos com um sistema de quatro equações e quatro variáveis desconhecidas:

a = 0,150 α - F + m g sen ⁡ 30 ° = m a N - m g cos ⁡ 30 ° = 0 F r = 1 2 m r 2 α

Onde a primeira equação parte da suposição de que o cilindro rola sem deslizar, algo que precisaremos verificar depois.

Vamos substituir os valores numéricos:

a = 0,150 α - F + 17,66 = 3,6 a N - 30,58 = 0 F = 0,27   α

E agora resolver para encontrar F e a . Substituindo a primeira equação na terceira:

F = 0,27 a 0,150 = 1,8   a

E dividindo a segunda equação por dois temos o seguinte:

F 2 = 8,83 - 1,8   a

E pelo resultado anterior:

F 2 = 8,83 - F

3 2 F = 8,83       ⇒         F = 5,88   N

E substituindo no resultado anterior para encontrar a :

a = F 1,8 = 5,88 1,8 = 3,27   m / s 2  

Passo 3

Agora vamos verificar se o rolamento sem deslizamento realmente acontece. Como o coeficiente de atrito estático é μ s = 0,15 , a força de atrito máxima que pode existir entre o cilindro e o plano é:

F m a x   = μ s N

E podemos retornar ao sistema para encontrar a força normal:

N = 30,58

F m a x = 0,15 30,58 = 4,587   N

E como esse valor é inferior ao que calculamos acima ( 5,88   N ), o cilindro vai deslizar, e a força F terá o valor associado ao coeficiente de atrito cinético:

F = μ k N = 0,10 30,58 = 3,06   N

E agora retornamos à segunda equação do nosso sitema de antes (que continua válida):

- F + 17,66 = 3,6 a

3,6 a = 17,66 - 3,06

a = 4,05   m / s 2

Resposta

Nesse caso a força é F = 3,06   N e a aceleração é a = 4,05   m / s 2 .

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