Enunciado

Resolva o Problema 7.12 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. A partir do círculo, podemos encontrar a inclinação dos planos principais e suas tensões. E ainda através do círculo, podemos encontrar o plano de cisalhamento máximo e a sua intensidade.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (18 + ( - 12 ))/(2) -> sigma_m e d = 3 k s i

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (18 , - 8) k s i

Y : (sigma_y , tau_x y) = (- 12 , 8) k s i

C : (sigma_m e d , 0) = (3 , 0) k s i

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, vamos começar encontrando seu raio, que pode ser dado por:

R = sqrt(C F^2 + F X^2) = sqrt((O F - O C)^2 + F X^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt((18 - 3)^2 + (8)^2) -> R = 17 k s i

Agora vamos encontrar a inclinação dos planos principais theta_P , então teremos:

t g 2 theta_P = (F X)/(F C) = (F X)/(O F - O C)

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g 2 theta_P = (8)/(18 - 3) = (8)/(15) -> 2 theta_P = 28,07 ° -> theta_P = 14,04 °

Passo 4

Agora podemos encontrar a inclinação dos planos de cisalhamento máximo pedido na letra (a), que são os pontos D e E. Lembrando que eles estão sempre a 45° de inclinação com relação ao plano principal, teremos:

theta_D = theta_P - 45 °

theta_E = theta_P + 45 °

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

theta_D = 14,04 - 45 -> theta_D = - 30,96 °

theta_E = 14,04 + 45 -> theta_E = 59,04 °

Passo 5

Agora, para determinar a tensão normal correspondente aos planos de cisalhamento máximo, basta olhar para o círculo de Mohr e notar que a tensão nesse ponto será a tensão no ponto C, que é justamente a tensão média, ou seja:

sigma = sigma_m e d -> sigma = 3 k s i

Resposta

(a) : theta_D = - 30,96 °

(a) : theta_E = 59,04 °

(b) : sigma = 3 k s i

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