Enunciado

Resolva o Problema 7.152 considerando que o extensômetro forma um ângulo β = 35 ° com uma linha paralela ao centro do eixo.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos precisar utilizar a equação para a tensão de cisalhamento gerada por torção, dada por:

τ = T c J

Em que T é o torque aplicado, c é a distância do centro do eixo até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia. Então, c e J serão propriedades geométricas, no entanto vamos precisar escrever o valor do torque em função da deformação e do módulo de cisalhamento dado no enunciado. Para isso vamos precisar encontrar a deformação no ponto com inclinação β , que é a posição do extensômetro para a qual temos a leitura de 300 μ . Para isso vamos precisar do auxílio do círculo de Mohr, então vamos começar encontrando as deformações. Então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Sabemos que nesse caso não temos tensão normal no sistema, então teremos:

σ x = σ y = 0

Então, as deformações nas direções x e y serão:

ϵ x = σ x - ν σ y E → ϵ x = 0

ϵ y = σ y - ν σ x E → ϵ y = 0

E, a nossa deformação de cisalhamento será:

γ x y = τ G

Só lembrando que para o eixo do círculo de Mohr, nós desenhamos γ x y / 2 , então a equação acima pode ser escrita como:

γ x y 2 = τ 2 G

Beleza! Com esses pontos podemos desenhar nosso círculo de Mohr, que será dado por:

Passo 3

Agora, através do círculo de Mohr do passo 2, é fácil verificar que o raio do círculo será a própria deformação de cisalhamento dividida por 2, ou seja:

R = γ x y 2 → R = τ 2 G

Agora, nós vamos rotacionar o ponto X de um ângulo β no elemento diferencial, ou seja, rotacionar o círculo de Mohr de 2 β , então teremos:

Então, para esse ponto, teremos a deformação em x igual a:

ϵ x ' = R s e n   2 β = τ 2 G s e n   2 β

E, isolando a tensão de cisalhamento dessa equação, teremos:

τ = 2 G ϵ x ' s e n   2 β

Passo 4

Agora vamos utilizar a equação para a tensão de cisalhamento que escrevemos lá no passo 1, dada por:

τ = T c J

No nosso caso, a distância c será o próprio raio do eixo, pois o estamos lidando com o elemento diferencial na superfície do eixo, então teremos:

c = 0,0508   m

Agora, para uma seção circular maciça, o momento polar de inércia é dado por:

J = π c 3 2

Em que c é o raio do eixo. Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:

J = π 0,0508 3 2 → J = 205,92.10 - 6   m 3

Agora podemos substituir a expressão que encontramos para a tensão de cisalhamento no passo 3 na equação do passo 4, chegando em:

2 G ϵ x ' s e n   2 β = T c J

Isolando o torque dessa equação e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T = 2 G ϵ x ' J c s e n   2 β = 2 79,3.10 9 300.10 - 6 205,92.10 - 6 0,0508 s e n 7 0 °

T = 205,2   k N . m

Feshooow!

Resposta

T = 205,2   k N . m

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