Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, e usando um computador e funções degrau, (a) organize uma tabela de força cortante, momento fletor e tensão normal máxima em seções da viga de x = 0 a x = L , usando os incrementos Δ L indicados e (b) usando incrementos menores, se necessário, determine com 2% de precisão a tensão normal máxima na viga. Coloque a origem do eixo x na extremidade A da viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto B. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

5 6 - R B 4 + 20 3 1 + 1,5 = 0

4 R B = 180 → R B = 45   k N

Agora, lembrando que, como temos carregamento distribuído que não vai até o final da viga, devemos adicionar um outro carregamento, de mesma intensidade, mas sentido oposto, da posição em que o carregamento atual termina, até o final da viga. Além de prolongar o carregamento existente até o final da viga também. Sendo assim, o carregamento equivalente será:

Agora podemos escrever o carregamento distribuído, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 20 < x - 2 > 0 - 20 < x - 5 > 0

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 20 < x - 2 > 0 - 20 < x - 5 > 0 d x

V = - 20 < x - 2 > 1 + 20 < x - 5 > 1 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos a força de apoio R B em B e a força de 5 kN aplicada sobre o ponto A, então nossa constante será:

C = - 5 + R B < x - 2 > 0 → C = - 5 + 45 < x - 2 > 0

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 20 < x - 2 > 1 + 20 < x - 5 > 1 - 5 + 45 < x - 2 > 0

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 20 < x - 2 > 1 + 20 < x - 5 > 1 - 5 + 45 < x - 2 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 20 2 < x - 2 > 2 + 20 2 < x - 5 > 2 - 5 x + 45 < x - 2 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 10 < x - 2 > 2 + 10 < x - 5 > 2 - 5 x + 45 < x - 2 > 1

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga com seção transversal retangular, sabemos que para essa geometria o momento de inércia é dado por:

I = b h 3 12

Substituindo os valores conhecidos, temos:

I = 0,05 0,3 3 12 → 112,5.10 - 6   m 4

Sabemos que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

c = h 2 = 0,3 2 → c = 0,15   m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = M 0,15 112,5.10 - 6 → σ m a x = 1333,33 M

Então, agora temos todas as equações que precisamos, de força cortante, momento fletor e da tensão máxima. Agora, com o auxílio do computador, calculando o valor da força cortante e do momento fletor em cada um dos pontos, começando de x = 0   m com incremento de Δ L = 0,5   m , e calculando também a tensão máxima em cada um desses pontos, teremos a seguinte tabela de valores:

Opa! A letra (a) acabou aqui! Bora pra letra (b) agora!

Passo 5

Agora, para a letra (b), devemos encontrar a tensão normal máxima da viga, com uma precisão de 2%. Para isso, primeiro vamos olhar a tabela que valores que encontramos no passo 4. Lá podemos ver que o maior valor de tensão encontrado foi de:

σ m a x = 40   M P a

E na posição:

x = 4   m

Podemos ver que antes desse ponto, tínhamos:

x = 3,5   m → σ m a x = 36,7   M P a

E após, temos:

x = 4,5   m → σ m a x = 36,7   M P a

Nesse caso, como os dois valores mais próximos são menores que o valor na posição x = 4   m e a tabela nos mostra que nesse ponto temos V = 0   k N , isso nos indica que o momento realmente é máximo nesse ponto, já que a equação da força cortante é a derivada da equação momento e sabemos que a derivando uma função e igualando ela a zero, temos justamente o ponto de máximo/mínimo da função. Então, nesse caso, não precisamos de cálculos adicionais para encontrar com precisão o valor da tensão máxima, pois em x = 4   m já temos seu valor exato de:

σ m a x = 40   M P a

Resposta

b :   σ m a x = 40   M P a

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Desenhe os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados e determine e determine a tensão máxima em razão do momento.
Desenhe os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados e determine e determine a tensão máxima em razão da flexão.
Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no:Ponto APonto B
Adotando a tensão admissível de 155 Mpa, determine o maior momento de flexão M que pode ser aplicado a viga de mesa larga mostrada. Despreze os efeitos de adoçamento.
Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no:Ponto APonto B