Enunciado

Resolva o Problema 7.18 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. Com o auxílio do círculo, podemos rotacionar o elemento diferencial de 15°, ou seja, andar 30° no círculo para descobrir a localização dos pontos de cisalhamento e tensão normal nas direções pedidas.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

σ m e d = - 3 + ( - 1,8 ) 2 → σ m e d = - 2,4   M P a

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : σ x ,   - τ x y = - 3 ,   0   M P a

Y : σ y ,   τ x y = - 1,8 , 0   M P a

C : σ m e d ,   0 = - 2,4 ,   0   M P a

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos encontrar seu raio subtraindo a tensão Y da tensão X e dividindo esse valor por 2, ou seja:

R = σ x - σ y 2 = - 3 - - 1,8 2 → R = 0,6   M P a

Agora, para a letra (a), precisamos rotacionar o elemento diferencial em 15° para podermos encontrar a tensão de cisalhamento num plano paralelo ao plano das fibras de madeira, sendo assim, rotacionando o elemento em 15°, ou seja, percorrendo 30° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Então, podemos encontrar a tensão de cisalhamento utilizando trigonometria, da seguinte forma:

τ x ' y ' = - R s e n 2 θ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

τ x ' y ' = 0,6 s e n 30 ° → τ x ' y ' = - 0,3   M P a

Passo 4

Agora para a letra (b), resta encontrar a tensão normal perpendicular as fibras, como na letra (a) encontramos a tensão de cisalhamento paralela as fibras, e sabemos que a tensão normal e a de cisalhamento são perpendiculares, basta encontrar a tensão normal para o mesmo ponto encontrado no passo 3. Então, também através de trigonometria, temos:

σ x ' = σ m e d - R c o s ( 2 θ )

Substituindo os valores conhecidos, temos:

σ x ' = - 2,4 - 0,6 c o s 30 → σ x ' = - 2,92   M P a

Feshooow!

Resposta

a : τ x ' y ' = - 0,3   M P a

b :   σ x ' = - 2,92   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o Problema 7.28 usando o círculo de Mohr.
Resolva o Problema 7.27 usando o círculo de Mohr.
Resolva o Problema 7.30 usando o círculo de Mohr.
Resolva o Problema 7.29, utilizando o círculo de Mohr e assumindo que a solda forma um ângulo de 60° com a horizontal.
Resolva o Problema 7.29 usando o círculo de Mohr.