Enunciado

Resolva o Problema 7.18 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. Com o auxílio do círculo, podemos rotacionar o elemento diferencial de 15°, ou seja, andar 30° no círculo para descobrir a localização dos pontos de cisalhamento e tensão normal nas direções pedidas.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (- 3 + ( - 1,8 ))/(2) -> sigma_m e d = - 2,4 M P a

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (- 3 , 0) M P a

Y : (sigma_y , tau_x y) = (- 1,8 , 0) M P a

C : (sigma_m e d , 0) = (- 2,4 , 0) M P a

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos encontrar seu raio subtraindo a tensão Y da tensão X e dividindo esse valor por 2, ou seja:

R = (sigma_x - sigma_y)/(2) = (- 3 - (- 1,8))/(2) -> R = 0,6 M P a

Agora, para a letra (a), precisamos rotacionar o elemento diferencial em 15° para podermos encontrar a tensão de cisalhamento num plano paralelo ao plano das fibras de madeira, sendo assim, rotacionando o elemento em 15°, ou seja, percorrendo 30° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Então, podemos encontrar a tensão de cisalhamento utilizando trigonometria, da seguinte forma:

tau_x^' y^' = - R s e n (2 theta)

Substituindo os valores conhecidos, temos:

tau_x^' y^' = 0,6 s e n (30 °) -> tau_x^' y^' = - 0,3 M P a

Passo 4

Agora para a letra (b), resta encontrar a tensão normal perpendicular as fibras, como na letra (a) encontramos a tensão de cisalhamento paralela as fibras, e sabemos que a tensão normal e a de cisalhamento são perpendiculares, basta encontrar a tensão normal para o mesmo ponto encontrado no passo 3. Então, também através de trigonometria, temos:

sigma_x ' = sigma_m e d - R c o s ( 2 theta )

Substituindo os valores conhecidos, temos:

sigma_x^' = - 2,4 - 0,6 c o s (30) -> sigma_x^' = - 2,92 M P a

Feshooow!

Resposta

(a) : tau_x^' y^' = - 0,3 M P a

(b) : sigma_x^' = - 2,92 M P a

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