Enunciado

Resolva o Problema 7.28 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Para esse exercício nós vamos utilizar a equação para o raio do círculo de Mohr para encontrar o valor de tau_x y . Depois disso, para encontrar as tensões principais correspondentes, vamos utilizar a equação da tensão média, junto com o raio do círculo de Mohr.

Passo 2

Então vamos lá! Vamos começar escrevendo as tensões que temos de acordo com o elemento dado no enunciado, então teremos:

sigma_x = 69 M P a

sigma_y = - 55,2 M P a

Então, se o enunciado nos disse que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões tem que ser igual ou menor que 82,7 MPa, vamos tomar o caso limite, em 82,7 MPa. Sabemos que, no estado plano de tensões, esse valor de cisalhamento corresponde ao raio do círculo de Mohr, então teremos:

tau_m a x = R = 82,7 M P a

Passo 3

Agora então, sabendo que a equação para o raio do círculo de Mohr é dada por:

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

Podemos isolar tau_x y dessa equação, já que temos todos os outros valores e queremos justamente o valor de tau_x y , então, fazendo isso, teremos:

R^2 = ((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2 -> 4 R^2 = sigma_x^2 - 2 sigma_x sigma_y + sigma_y^2 + 4 tau_(x y)^2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos no valor da tensão de cisalhamento pedida na letra (a):

4 (82,7)^2 = 69^2 - 2 (69) (- 55,2) + (- 55,2)^2 + 4 tau_(x y)^2

tau_x y = 54,6 M P a

Opa, tá aí o que foi pedido na letra (a). Como estamos interessados no maior valor do cisalhamento, não precisamos nos preocupar com a orientação dele, só nos interessa o seu módulo.

Passo 4

Agora, para a letra (b), nós sabemos que as tensões principais podem ser dadas por:

sigma_1 = sigma_m e d + R

sigma_2 = sigma_m e d - R

Nós já temos o valor de R, que vimos lá no passo 2. Então precisamos calcular o valor da tensão média, que é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, temos:

sigma_m e d = (6 9 + (- 55,2))/(2) -> sigma_m e d = 6,9 M P a

Então, as tensões principais serão:

sigma_1 = sigma_m e d + R = 6,9 + 82,7 -> sigma_1 = 89,6 M P a

sigma_2 = sigma_m e d - R = 6,9 - 82,7 -> sigma_2 = - 75,8 M P a

Proonto! Finalizamos mais um!

Resposta

(a) : tau_x y = 54,6 M P a

(b) : sigma_1 = 89,6 M P a

(b) : sigma_2 = - 75,8 M P a

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