Enunciado

Resolva o Problema 7.24 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Tá legal! Para encontrar os planos e tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto H, precisamos ter o círculo de Mohr desenhado para esse ponto. Só que para desenhar o círculo, precisamos das tensões aplicadas nesse ponto, que serão geradas pela torção e pelo momento aplicadas na barra. Então vamos precisar encontrar esses valores antes. Observe que a torção será gerada pela força de 400lb que está deslocada com relação ao centro do eixo.

Com o círculo desenhado e os valores encontrados, vem a parte fácil, vamos aplicar as fórmulas para encontrar a tensão média e o raio do círculo, e aí conseguimos encontrar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima para o ponto H.

Passo 2

Beleza! Como a força de 400lb está deslocada com relação ao centro do eixo, ela irá gerar torção na barra. A torção será dada pela força multiplicada pelo raio da engrenagem, ou seja:

T = 400 (2) -> T = 800 l b . i n

Agora vamos relembrar a equação para a tensão de cisalhamento gerada por torção, que é dada por:

tau = (T c)/(J)

Em que T é o torque aplicado, c é a distância do centro até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia, lembrando que o momento polar de inércia é dado por:

J = (pi r^4)/(2)

Substituindo essa expressão na equação para a tensão de cisalhamento e sabendo que nosso ponto H está na superfície, ou seja, em c = r , a equação se torna:

tau = (T r)/((pi r^4)/(2)) -> tau = (2 T)/(pi r^3)

Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, sendo o T que encontramos e o raio fornecido no enunciado, teremos:

tau = (2 (800))/(pi (0,5)^3) -> tau = 4074 k s i

Passo 3

Agora nós vamos encontrar a tensão normal causado pelo momento fletor que existe na barra. Lembrando que essa tensão pode ser escrita como:

sigma = (M y)/(I)

Em que M é o momento no ponto de interesse, y é a distância do centro até o ponto de estudo e I é o momento de inércia da barra. Beleza, sabemos que no nosso caso, a distância y vai ser o próprio raio da seção, ou seja:

y = r -> y = 0,5 i n

Beleza, agora vamos calcular o momento no ponto H. Sabendo que o momento é a força vezes o braço de alavanca, para o nosso caso teremos:

M = F d = 400 (6) -> M = 2400 l b . i n

Beleza! Agora falta o momento de inércia, que para uma seção circular é dado por:

I = (pi r^4)/(4)

Substituindo o valor do raio fornecido no enunciado, teremos:

I = (pi (0,5)^4)/(4) -> I = 49,087.10^(- 3) i n^4

Agora sim podemos encontrar o valor da tensão no ponto H, então teremos:

sigma = (2400 (0,5))/(49,087.10^(- 3)) -> sigma = 24446 k s i

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos as tensões, podemos desenhar o elemento diferencial de tensões para o ponto H, onde teremos:

Então, as tensões para esse elemento diferencial serão:

sigma_x = 24,446 k s i

sigma_y = 0

tau_x y = 4,074 k s i

Com isso, podemos calcular o valor da tensão média, que será dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (24,446 + 0)/(2) -> sigma_m e d = 12,223 k s i

Então, teremos os seguintes pontos para o círculo de Mohr:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (24,446 ; - 4,074) k s i

Y : (sigma_y , tau_x y) = (0 ; 4,074) k s i

C = (sigma_m e d , 0) = (12,223 ; 0) k s i

E, agora então podemos encontrar o raio para círculo de Mohr, que é dado pela fórmula:

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt(((24,446 - 0)/(2))^2 + (4,074)^2) -> R = 12,884 k s i

Passo 5

Com as informações que encontramos no passo 4, temos tudo o que precisamos para esboçar o círculo de Mohr, que então será:

Então, através do círculo de Mohr, podemos ver que as tensões principais, que são as tensões nos pontos A e B, podem ser encontradas através:

sigma_a = sigma_m e d + R = 12,223 + 12,884 -> sigma_a = 25,107 k s i

sigma_b = sigma_m e d - R = 12,223 - 12,884 -> sigma_b = - 0,661 k s i

Shoow! Agora, a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto será o próprio raio do círculo de Mohr, já que o círculo é simétrico com relação ao eixo da tensão normal. Dessa forma, teremos:

tau_m a x = R -> tau_m a x = 12,884 k s i

Prooonto! Eram essas 3 informações que o enunciado havia pedido, terminamos por aqui!

Resposta

sigma_a = 25,107 k s i

sigma_b = - 0,661 k s i

tau_m a x = 12,884 k s i

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