Enunciado

Resolva o Problema 7.85 usando o critério da energia de distorção máxima.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar a equação para a energia máxima de distorção, dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b

Vamos precisar calcular o valor das tensões em A e B, que são os extremos do círculo de Mohr, fazendo isso, vamos conseguir deixar a equação acima em função da tensão de cisalhamento. Depois de obtermos a tensão de cisalhamento, basta aplicar a equação para a tensão de cisalhamento gerada pelo torque aplicado em uma seção circular, dada por:

τ x y = T c J

Isolando o valor do torque chegamos na resposta. Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Beleza, nós sabemos que a tensão na direção x é gerada pela força P, ou seja:

σ x = P A

Então, vamos calcular a área da seção transversal, que será dada por:

A = π d 2 4 = π 0,038 2 4 → A = 1,134.10 - 3   m 2

Então, a tensão na direção x será:

σ x = P A = 240.10 3 1,134.10 - 3 → σ x = 211,62   M P a

E, no nosso caso, não temos nenhuma tensão na direção y, então teremos:

σ y = 0

Agora, sabemos que as tensões nos extremos do círculo, pontos A e B serão dadas por:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Então vamos precisar também da tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = σ x + 0 2 → σ m e d = σ x 2

Passo 3

Agora, conforme vimos lá no passo 1, temos que a equação para o critério da energia de distorção é dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b

No nosso caso, estamos interessados no maior valor de torque possível, então temos que considerar o caso limite onde o eixo está para falhar, ou seja, em:

σ R = σ E

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, teremos:

σ E = σ m e d + R 2 + σ m e d - R 2 - σ m e d + R σ m e d - R

σ E 2 = σ x 2 + σ x 2 4 + τ x y 2 2 + σ x 2 - σ x 2 4 + τ x y 2 2 - σ x 2 + σ x 2 4 + τ x y 2 σ x 2 - σ x 2 4 + τ x y 2

Beleza! Agora vamos abrir tudo isso aí:

σ E 2 = σ x 2 4 + σ x σ x 2 4 + τ x y 2 + σ x 2 4 + τ x y 2 + σ x 2 4 - σ x σ x 2 4 + τ x y 2 + σ x 2 4 + τ x y 2 - σ x 2 4 + σ x 2 4 + τ x y 2

σ E 2 = σ x 2 + 3 τ x y 2

Isolando a tensão de cisalhamento nessa equação e substituindo os valores da tensão de escoamento e da tensão na direção x teremos:

τ x y = σ E 2 - σ x 2 3 = 250.10 6 2 - 211,62.10 6 2 3 → τ x y = 76,85   M P a

Passo 4

Beleza! Com essa tensão de cisalhamento, vamos utilizar a equação para a tensão de cisalhamento causada por torção, onde temos:

τ x y = T c J

Em que c é a distância do centro do eixo até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia. No nosso caso, nosso c será o raio do eixo, já que esse é o ponto de máxima tensão de cisalhamento, então teremos:

c = d 2 = 0,038 2 → c = 0,019   m

Agora, nosso momento polar de inércia será dado por:

J = π c 4 2 = π 0,019 4 2 → J = 204,708.10 - 9   m 4

Então, isolando o torque da equação do cisalhamento teremos:

T = J τ x y c

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T = 204,708.10 - 9 76,85 . 10 6 0,019 → T = 828   N . m

Opa! Esse é o torque máximo que pode ser aplicado no nosso eixo! Terminamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

T = 828   N . m

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