Enunciado

O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5   mm e diâmetro interno de 57,5   mm . Se estiver firmemente preso à parede em C e for submetido a um torque uniformemente distribuído, como mostra a figura, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B . Esses pontos se encontram na superfície externa do tubo. Faça um rascunho da tensão de cisalhamento sobre os elementos de volume localizados em A e B .

Passo 1

Um tubo sofre um carregamento de torção uniformemente distribuído: t = 625   Nm/m .

Queremos achar a tensão de cisalhamento em dois pontos: A   e B .

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio interno: r i = 57,5 / 2 = 28 , 75   mm .
  • Raio externo: r e = 62,5 / 2 = 31,25   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π ( 31,25 4 - 28 , 75 4 ) / 2 = 424851,319   mm 4 .

O J é constante pro eixo todo. Os pontos A e B estão na borda do eixo (então usamos r = r e ) . O que nos falta saber é a torção T A e T B nas seções transversais em A e B !

Depois disso, a questão pede que desenhos a tensão em um elemento de volume (um cubinho!) onde esses pontos estão.

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo. Isso é tranquilo!

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido C a A para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque.

  • Torque na seção a partir da extremidade livre até A :
  • T A = + 625   Nm /m ⋅ 300   mm = + 187,5 0   Nm

  • Torque na seção da extremidade livre até B :

T B = + 625   Nm/m ⋅ 525   mm = + 328,1 3   Nm

Passo 3

Agora que temos os torques, vamos usar a fórmula para achar a tensão.

Primeiro a tensão τ A no ponto A :

τ = T   r J         →         | τ A | = | + 187,50     N m |   ⋅ 31,25   mm 424851,319     mm 4

| τ A | = 13,79   MPa

Agora a tensão τ B em B :

τ = T   r J         →         | τ B | = | + 328,12   N m |   ⋅ 31,25   mm 424851,319   mm 4

| τ B | = 24,14   MPa

Beleza, mas e os sinais? Essas tensões estão apontando pra onde? Tudo depende de como você corta a seção! Vamos ver!

Passo 4

Vamos olhar uma seção que vai da extremidade livre até a seção transversal em A .

Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 187,50   Nm aplicado na extremidade livre, e aí o torque interno em A tem que ser - 187,50 Nm para equilibrar! Negativo!

Se é negativo, aponte seu dedão para C e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto A está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa para o ponto A segundo a seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Passo 5

Agora vamos ver uma seção que vai da extremidade livre até a seção transversal em B .

Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 328,13   Nm aplicado na extremidade livre, então o torque interno em B tem que ser - 328,13   Nm para equilibrar! Negativo!

Se é negativo, aponte seu dedão para C e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto B está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa para o ponto B segundo a seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Resposta

Tensão em A : τ A = 13,79   MPa .

Tensão em B : τ B = 24,14   MPa .

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