Enunciado

Sabe-se que existe um estado plano de deformação na superfície de um componente de máquina. Sabendo que E = 200 GPa e G = 77,2 GPa, determine a direção e a intensidade das três deformações específicas principais (a) por meio da determinação do estado de deformação correspondente [use a Equação (2.43) e a Equação (2.38)] e em seguida utilize o círculo de Mohr para deformação; e (b) utilize o círculo de Mohr para determinar os planos e as tensões principais e então determine as deformações correspondentes.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, começando pela letra (a), vamos precisar encontrar nossas deformações em x, y e a deformação de cisalhamento. Fazendo isso, podemos desenhar o círculo de Mohr para o estado dado. Com o círculo de Mohr desenhado, conseguimos encontrar as direções principais e suas intensidades.

Para a letra (b) vamos utilizar as tensões dadas para desenhar o círculo de Mohr das tensões, com isso vamos encontrar as tensões as direções principais e as tensões principais. Aí, com as tensões principais, conseguimos encontrar as deformações correspondentes. Então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar escrevendo as tensões dadas pelo elemento diferencial:

σ x = 0

σ y = - 150   M P a

τ x y = - 75   M P a

Beleza! E nós sabemos que as deformações nas direções x, y e a deformação de cisalhamento podem ser dadas por:

ϵ x = σ x - ν σ y E

ϵ y = σ y - ν σ x E

γ x y = τ x y G

Beleza, então precisamos calcular o valor de ν para utilizar as equações acima. Sabemos que o módulo de cisalhamento pode ser escrito como:

G = E 2 1 + ν → 1 + ν = E 2 G → ν = E 2 G - 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

ν = 200 2 77,2 - 1 → ν = 0,2953

Então, as deformações nas direções x, y e a deformação de cisalhamento serão:

ϵ x = σ x - ν σ y E = 0 - 0,2953 - 150.10 6 200.10 9 → ϵ x = 222   μ

ϵ y = σ y - ν σ x E = - 150.10 6 - 0,2953 0 200.10 9 → ϵ y = - 750   μ

γ x y = τ x y G = - 75.10 6 77,2.10 9 → γ x y = - 971   μ

Com esses pontos podemos desenhar o círculo de Mohr, que será dado por:

Passo 3

Agora, com o círculo de Mohr, vamos encontrar a expressão da deformação média, que será dada por:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = 222 + - 750 2 → ϵ m e d = - 264   μ

E, o nosso raio do círculo será dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = 222 - - 750 2 2 + - 971 2 2

R = 687   μ

Agora vamos encontrar a direção principal para o ponto A, que será dada por:

t g   2 θ a = γ x y ϵ x - ϵ y = - - 971 222 - - 750 → θ a = - 22,5 °

E, como sabemos que a outra direção principal B fica do outro lado do círculo, ou seja, a 180°, como cada grau de rotação do elemento diferencial representa dois graus de rotação no círculo, para obter a direção principal em B, basta somar 90° ao valor obtido para θ a , então teremos:

θ b = θ a + 90 ° = - 22,5 + 90 ° → θ b = 67,5 °

Agora, as deformações principais em A e B serão dadas por:

ϵ a = ϵ m e d + R = - 264 + 687 → ϵ a = 423   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = - 264 - 687 → ϵ b = - 951   μ

E a deformação principal C, que é dada por:

ϵ c = - ν E σ x + σ y = - 0,2953 200.10 9 0 + - 150.10 6

ϵ c = - 221   μ

Ufa! Fechamos a letra (a), agora bora pra (b).

Passo 4

Agora para a letra (b), vamos desenhar o círculo de Mohr de tensões com o elemento diferencial dado lá no enunciado, então teremos:

Então, nesse caso, teremos que as tensões principais em A e B serão dadas por:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Então vamos precisar calcular a tensão média e o raio do círculo de Mohr das tensões. Começando pela tensão média, teremos:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 0 + - 150 2 → σ m e d = - 75   M P a

E, o raio do círculo será dado por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 0 - - 150 2 2 + - 75 2

R = 106,1   M P a

Passo 5

Então, as tensões principais serão:

σ a = σ m e d + R = - 75 + 106,1 → σ a = 31,1   M P a

σ b = σ m e d - R = - 75 - 106,1 → σ b = - 181,1   M P a

Agora, vamos encontrar os planos principais, para a direção principal em A, teremos:

t g   2 θ a = 2 τ x y σ x - σ y = 2 - 75 0 - - 150 → θ a = - 22,5 °

E, como sabemos que a outra direção principal B fica do outro lado do círculo, ou seja, a 180°, como cada grau de rotação do elemento diferencial representa dois graus de rotação no círculo, para obter a direção principal em B, basta somar 90° ao valor obtido para θ a , então teremos:

θ b = θ a + 90 ° = - 22,5 + 90 ° → θ b = 67,5 °

Agora conseguimos calcular as deformações correspondentes, que serão dadas por:

ϵ a = σ a - ν σ b E = 31,1.10 6 - 0,2953 - 181,1.10 6 200.10 9 → ϵ a = 423   μ

ϵ b = σ b - ν σ a E = - 181,1.10 6 - 0,2953 31,1.10 6 200.10 9 → ϵ b = - 951   μ

Shooow! Fechamos a letra (b) e o exercício como um todo, valeeu!

Resposta

a :   θ a = - 22,5 ° ;   θ b = 67,5 °

a :   ϵ a = 423   μ ;   ϵ b = - 951   μ ;   ϵ c = - 221   μ

b :   σ a = 31,1   M P a ;   σ b = - 181,1   M P a

b :   θ a = - 22,5 ° ;   θ b = 67,5 °

b :   ϵ a = 423   μ ;   ϵ b = - 951   μ

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